Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Rasio yang Mematikan

Malam itu ombak sedang bergelora, awan hitam berkecamuk di laut Yunani. Hippasus dari Metapontum diikat di dalam sebuah kapal kayu dan akan ditenggelamkan di laut lepas pada tahun 520 SM. Padahal, Hippasus bukanlah seorang pencuri apalagi pembunuh. Ia hanya menemukan sebuah rasio yang mematikan yang akhirnya merenggut hidupnya.

Hippasus adalah salah satu murid Pythagoras. Mirip dengan murid-murid yang lain, Hippasus suka mengutak-atik angka. Mencari keterkaitan suatu angka dengan angka lain dan mencari rasio dari dua buah bilangan merupakan aktivitas favorit mereka. Pythagoras dan pengikutnya percaya bahwa alam semesta ini tersusun atas angka-angka dalam bilangan asli. Bilangan asli dari satu hingga sepuluh dianggap memiliki arti penting. Bilangan genap dianggap sebagai perempuan dan bilangan ganjil dianggap sebagai laki-laki.

Akan tetapi, apa yang baru saja ditemukan oleh Hippasus membuat pengikut Pythagoras terkaget. Hippasus membuktikan bahwa terdapat bilangan yang tidak dapat dibentuk oleh rasio dua buah bilangan asli. Bilangan ini disebut bilangan irasional. Penemuan bilangan irasional membuat pengikut Hippasus berbeda pendapat dengan pengikut Pythagoras yang akhirnya harus merenggut hidupnya.

Tentunya kita cukup akrab dengan teorema Pythagoras yang menyatakan hubungan antara sisi terpanjang dari sebuah segitiga siku-siku dengan dua sisi siku yang lain. Misalkan saja kita memiliki segitiga siku-siku yang sisi-sisi sikunya bernilai 1.

Ed41-matematika-1

Mencari sisi terpanjang dari segitiga ini sangatlah mudah dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kita bisa tuliskan S2 = 12 + 12 = 2 sehingga S = √2 (dibaca: akar dua).

Pertanyaannya sekarang, berapakah nilai yang “eksak” dari √2? Satu hal yang pasti, √2 lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari 2 karena 12 = 1 dan 22 = 4 sehingga √2 haruslah bernilai di antara 1 dan 2. Dengan keyakinan demikian, para pengikut Pythagoras percaya bahwa √2 berasal dari rasio dua buah bilangan asli.

Kita bisa mencoba-coba rasio dua buah bilangan asli seperti 7/5, 141/100, 707/500 untuk mendekati nilai √2 yang kita ketahui saat ini sekitar 1,414213562… Namun, kesimpulan Hippasus di masa hidupnya saat itu begitu mengejutkan. Ia membuktikan bahwa √2 tidak dapat secara eksak dibentuk oleh rasio dua buah bilangan asli p dan q. Bagaimana ia membuktikannya, mari kita simak sambil siapkan alat tulis.

Pertama kita asumsikan dulu bahwa √2 benar dapat dibentuk dari rasio dua buah bilangan asli p dan q. Kita tuliskan √2 = p/q, kemudian kita kuadratkan kedua ruas dari persamaan ini tersebut untuk mendapatkan 2 = p2/q2. Nilai p dan q harus dipilih sedemikian rupa sehingga pecahan p2/q2adalah yang paling sederhana.

Sekarang kita kalikan kedua sisi persamaan yang terakhir dengan q2sehingga diperoleh 2 q2 = p2. Perhatikan ruas kanan persamaan ini yang menunjukkan bahwa p2 haruslah bilangan genap karena berapapun angka yang dikalikan dengan angka 2 haruslah bilangan genap. Selain itu, p sendiri juga harus merupakan bilangan genap. Kalau tidak, bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

Di sisi kiri 2q2 = p2 dapat kita analisis pula bahwa q2 haruslah bernilai genap. Alasannya, kuadrat bilangan genap p2, yang memiliki minimal 22 faktor prima, bila dibagi 2 akan menghasilkan bilangan genap juga. Dengan demikian, kita dapat mengambil kesimpulan pertama bahwa p dan q haruslah dua bilangan genap.

Akan tetapi, dari awal kita sudah mengasumsikan bahwa p/q haruslah merupakan pecahan yang paling sederhana sehingga faktor prima 2 di p dan q harus kita coret. Kesimpulan kedua yang dapat kita ambil adalah bahwa p dan q tidak mungkin dua bilangan genap.

Dari dua kesimpulan ini kita menemukan hal yang kontradiktif. Tentunya mustahil p dan q haruslah dua bilangan genap dan tidak mungkin dua bilangan genap di saat yang bersamaan. Nah, satu-satunya yang dapat kita salahkan adalah asumsi awal kita. Asumsi bahwa √2 dapat dibentuk dari rasio dua buah bilangan asli p dan q adalah asumsi yang salah.

Apa artinya? Cukup jelas bahwa jika asumsi awal kita telah salah, berarti kebalikannya itu yang benar. Dengan demikian, kita justru telah membuktikan bahwa √2 tidak dapat dibentuk oleh dua buah bilangan asli p dan q. Metode pembuktian seperti ini disebut dengan metode kontradiksi, pernah juga dibahas di Majalah 1000guru edisi ke-22.

Sebenarnya cerita tentang kematian Hippasus di atas adalah legenda, tetapi kebenaran pembuktian bilangan irasionalnya adalah kenyataan. Metode membuktikan suatu asumsi dengan kontradiksi ini sangat penting dalam logika matematika. Teman-teman dapat lebih lanjut membuktikan bilangan irasional lain seperti √3, √5, √7, dan seterusnya secara umum dengan kontradiksi.

Bahan bacaan:

Penulis:
Eddwi Hesky Hasdeo, mahasiswa doktor di Departemen Fisika, Tohoku University, Jepang.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com.