Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Sejarah Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks di abad ke-21 sudah menjadi hal yang lazim dipahami. Akan tetapi, tahukah kalian bahwa sejarah bilangan kompleks dibubuhi dengan kebingungan dan perdebatan selama berabad-abad? Dan tahukah kalian bahwa bilangan kompleks ditemukan dalam proses penyelesaian persamaan kubik, bukan persamaan kuadratik? Mari kita simak ceritanya!

Pada tahun 1494, Luca Pacioli (hidup sekitar 1445-1514) mengutarakan suatu pernyataan yang berani di dalam bukunya yang berjudul Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, yaitu mustahil bagi kita untuk menyelesaikan suatu persamaan kubik. Sepuluh tahun kemudian, terbukti bahwa Pacioli salah. Hal ini dibuktikan oleh Scipione del Ferro (1465-1526) yang mampu persamaan depressed cubic, yaitu persamaan kubik yang tidak memiliki derajat dua. Bentuk umum depressed cubic adalah sebagai berikut

x^{3} = px +q\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 1 \right )

dengan p dan q  tidak negatif. Trik dari del Ferro adalah memisalkan x=u+v  yang disubstitusikan ke persamaan (1):

x^{3}-px = u^{3}+v^{3} + 3uv \left ( u+v \right) - p \left ( u+v \right ) = q

Misalkan lagi 3uv = p, kita dapatkan

u^{3} + v^{3} = q\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 2 \right )

dan

    u^{3}v^{3}=\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 3 \right )

Jika persamaan (2) dimasukkan ke dalam persamaan (3) untuk menghilangkan v^{3} , kita dapat tuliskan

u^{6} - qu^{3}- \frac{p^{3}}{27} = 0\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 4 \right )

Sekilas, menyelesaikan persamaan (4) terlihat sulit. Namun, persamaan ini memiliki bentuk kuadratik untuk u^{3} sehingga dengan menggunakan rumus ABC bisa kita peroleh

u^{3} = \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}

Ambil bagian yang positif saja, nilai u menjadi

u = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}

Dengan cara yang sama, didapatkan

v = \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}

Karena solusi dari persamaan (1) adalah x = u +v , kita masukkan nilai u dan v ,

x = u + v = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 5 \right )

Perhatikan karena p dan q bernilai positif, secara eksplisit dapat diketahui bahwa nilai x  di persamaan (5) selalu bernilai riil. Namun, jika q bernilai negatif, persamaannya menjadi seperti berikut

x = u + v = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}}\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ \left ( 6 \right )

Dan bagaimana jika \frac{p^{3}}{27} > \frac{q^{2}}{4}? Hal ini tidak dibahas oleh del Ferro, karena ia sendiri kebingungan. :D

Tiga puluh tahun setelah persamaan ( 6) muncul, Rafael Bombelli (hidup sekitar 1526-1572) melihat ada yang aneh dan paradoks dari persamaan ini. Jika \frac{p^{3}}{27} > \frac{q^{2}}{4}, persamaan ini pastilah memuat bilangan kompleks yang perlu didefinisikan dengan cara yang baru dan radikal sebagai suatu kelas bilangan tersendiri. Sebagai contoh, Bombelli menyadari x^{3} = 15x +4 memiliki solusi [dengan menggunakan rumus persamaan (6)]:

x = \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2-11i}

Ketika Bombelli berjuang menyelesaikan paradoks ini, dia menemukan sebuah “ide gila”, yaitu dengan memisalkan \sqrt[3]{2+11i} = 2+ni dan \sqrt[3]{2-11i} = 2-ni (catatan: “ide gila” ini sekarang disebut konjugat dari suatu bilangan kompleks). Selanjutnya, untuk melihat nilai n dari \sqrt[3]{2+11i} = 2 + ni, Bombelli perlu menghitung 2+11i = \left ( 2+ni \right )^{3} sehingga diperoleh n = 1. Dengan demikian,

x = 2 + i +2 - i = 4

Sayangnya, ide brilian Bombelli tidak dapat diterima pada masa itu. Meski demikian, cukup jelas bahwa Bombelli sudah membantu membuka jalan untuk memahami bilangan kompleks.

Pada tahun 1685, John Wallis adalah orang pertama yang mencoba mengaitkan bilangan kompleks dengan grafik. Sumbu-x adalah bilangan riil dan sumbu-y adalah bilangan imajiner. John Wallis menyatakan bahwa bilangan kompleks hanyalah sebuah titik pada bidang, tetapi pendapatnya pun diabaikan. Pada tahun 1777, Euler menegaskan i = \sqrt{-1} sehingga bilangan kompleks dapat lebih mudah dipahami.

Akhirnya, sekitar tahun 1804,  ada ilmuwan yang setuju dengan pendapat John Wallis mengenai grafik bilangan imajiner, yaitu Abbe Buee. Kemudian, tahun 1806, Jean Robert Argand menuliskan bagaimana cara menggambar bilangan kompleks pada bidang, yang sampai sekarang bidang ini disebut dengan diagram Argand. Carl Friedrich Gauss membuat ide diagram Argand semakin populer pada tahun 1831. Gauss juga yang menyebut notasi milik Descartes a + bi sebagai bilangan kompleks.

Di masa modern saat ini, bilangan imajiner i (sebagai bagian dari bilangan kompleks) memiliki manfaat yang sangat beragam. Para insinyur menggunakannya untuk mempelajari resonansi. Bilangan kompleks juga membantu kita untuk memahami aliran fluida di sekitar benda, seperti aliran air di sekitar pipa. Selain itu, bilangan kompleks digunakan pada sirkuit listrik dan membantu mengirimkan gelombang radio. Dapat kita bayangkan, jika tidak ada i, kita tidak mungkin bisa bercakap-cakap melalui telepon ataupun mendengarkan siaran radio. Maka, bersyukurlah bilangan kompleks telah didefinisikan!

Alhasil, seperti yang telah kita lihat, bilangan kompleks memiliki kegunaan yang melampaui sangka kita. Sejarah bilangan kompleks pun memang sangat kompleks, dengan dipenuhi oleh matematikawan yang tidak percaya dan sebagian matematikawan lain yang berusaha meyakinkan bahwa bilangan kompleks itu nyata. Mungkin kita perlu berterima kasih kepada matematikawan yang terdahulu karena kita sekarang dapat menggunakan bilangan imajiner secara bebas tanpa jadi bahan tertawaan.

Penulis:
Reyna Marsya Quita, mahasiswa master di Jurusan Matematika, Universitas Brawijaya, Malang.
Kontak: reynaquita2905(at)gmail.com