Manakah yang lebih besar: πe atau eπ? Pertanyaan ini mungkin tidak terlalu penting untuk dijawab, muncul dari keingintahuan saja. Namun, metode matematis untuk bisa menjawab pertanyaan ini sangat bermanfaat untuk mengembangkan kemampuan matematis kita dan banyak yang bisa kita pelajari dari pertanyaan tidak penting ini. Tentu saja metodenya tidak dengan menggunakan kalkulator.
π dan e merupakan bilangan irasional. Kita tahu bahwa π bernilai 3,14159…, sedangkan e bernilai 2,71828…. Bilangan bulat terdekat dengan π adalah 3 dan yang terdekat dengan e adalah 2. Sekilas jika kita membandingkan 23 = 8 dan 32 = 9, kita melihat bahwa 23 dan 32 memiliki perbedaan atau selisih yang tipis, yaitu 1. Perhatikan bahwa π dan e memiliki perbedaan yang lebih kecil dari 3 dan 2 sehingga menyimpulkan manakah yang lebih besar di antara πe atau eπ tidaklah mudah. Kita harus membuat suatu koneksi antara keduanya yang akhirnya membuat kita dapat menyimpulkan manakah yang lebih besar.
Untuk menjawab permasalahan ini, kita samakan dulu pangkat dari kedua bilangan ini, yakni πeπ dibandingkan dengan eπe. Dengan mudah kita katakan πeπ yang lebih besar karena π > e. Dari sini kita dapat melihat bahwa dengan membuat pangkat keduanya sama, masalah lebih mudah diselesaikan. Oleh sebab itu, kita coba konversi supaya πe dan eπ memiliki bentuk pangkat yang sama:
\pi^\text{e} = (\pi^{(1/\pi)})^{\text{e}\pi}
\text{e}^\pi = (\text{e}^{(1/\text{e})})^{\text{e}\pi}
Perhatikan, bahwa kita telah menggunakan hubungan (ab)c = abc.
Kini permasalahan menjadi menarik karena membandingkan πe vs. eπ ternyata sama dengan membandingkan π(1/π) vs. e(1/e). Ada perkembangan di sini karena yang kita bandingkan sekarang dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dengan variabel tunggal f(x) = x(1/x), tidak seperti permasalahan sebelumnya yang membutuhkan nilai dua variabel.
Jika kita dapat menggambarkan kurva f(x) = x(1/x), kita dapat membandingkan apakah πe ataukah eπ yang lebih besar dengan melihat f(e) dan f(π). Kita bisa gunakan teknik kalkulus untuk melihat nilai maksima dan minima. Misalkan y = x(1/x), kita mencari maksimum dan minimumnya dengan menetapkan turunan pertama dy/dx = y’= 0. Akan tetapi, x(1/x) merupakan fungsi eksponensial sehingga turunannya tidak bisa dilakukan langsung. Kita harus melakukan operasi ln di kedua sisi persamaan y = x(1/x), yakni
\ln y = \ln(x^{(1/x)}).
Operasi ln membuat eksponen (1/x) turun sehingga
\ln y = \displaystyle\frac{1}{x} \ln(x).
Dengan bentuk ini kita bisa menghitung turunan di kedua sisi:
\displaystyle\frac{y^\prime}{y} = \displaystyle -\frac{1}{x^2} \ln(x) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right).
Maka, ekspresi turunannya adalah
y^\prime = \displaystyle y\left(-\frac{1}{x^2} \ln(x) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right) \right).
Nilai maksimum dicapai saat y’ = 0:
\displaystyle\left(-\frac{1}{x^2} \ln(x) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x} \right) \right) = 0
Jika kedua sisi dibagi dengan 1/x2, kita mendapatkan:
\ln(x) = 1
sehingga x = e merupakan nilai kritis yang membuat y’ = 0. Namun, kita belum bisa menyimpulkan apakah x = e adalah nilai minimum atau maksimum.
Permasalahan terakhir ini menuntut kita kembali ke bentuk y’ untuk menganalisis gradien dari y,
y^\prime = \displaystyle y \left(- \frac{1}{x^2}\ln(x) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x} \right)\right)
y^\prime = \displaystyle \frac{x^{(1/x)}}{x^2} (1 - \ln(x))
Kita lihat bahwa x(1/x) selalu positif dan tidak pernah menjadi nol. Demikian juga dengan 1/x2 selalu bernilai positif. Maka, kita hanya perlu mengecek (1 – ln(x)) dengan titik kritis di e. Saat x < e, nilai ln(x) < 1 sehingga y’ bernilai positif dan y merupakan fungsi naik pada x < e. Pada saat x > e, ln(x) > 1 sehingga y’ bernilai negatif dan y’ merupakan fungsi turun pada x > e. Dari analisis ini kita menyimpulkan bahwa y bernilai maksimal saat x = e. Dengan demikian, f(e) = e(1/e) merupakan nilai terbesar untuk grafik f(x) = x1/x dan lebih besar daripada f(π) = π(1//π). Dari hasil ini, kita dapat menyimpulkan bahwa eπ lebih besar dari πe.
Seru sekali, bukan? Dengan pertanyaan sederhana di atas kita dapat mempelajari kalkulus dan analisis fungsi. Buat yang penasaran bentuk f(x) = x(1/x), silakan lihat gambar kurvanya.
Kita lihat pada saat x = e = 2,71828…, y mencapai puncak, tetapi kemudian turun perlahan. Kurva ini menunjukkan bahwa cx < xc sepanjang x > e dan c > x. Contohnya 109 < 910. Untuk yang masih penasaran, silakan cek kalkulator bahwa nilai eπ = 23,14069 dan πe = 22,459157. Sementara itu, 910 kira-kira bernilai 3,14 kali lebih besar daripada 109.
Bahan bacaan/tontonan:
Saluran YouTube “blackpenredpen” https://youtu.be/SPHD7zmLVa8
Penulis:
Eddwi Hesky Hasdeo, Peneliti di Pusat Penelitian Fisika LIPI dan University of Luxembourg.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com
