Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Bilangan Euler

Bilangan Euler (e) adalah bilangan irasional yang bernilai 2,718281828… (dan seterusnya). Bilangan ini dinamakan bilangan Euler sebagai penghargaan kepada ahli matematika Swiss yang menemukannya, Leonhard Euler. Kita akan melihat kilas balik sejarah bilangan Euler dan mengapa bilangan ini sangat penting dalam matematika.

Dalam matematika, bilangan atau konstanta yang terkenal biasanya terkait dengan geometri atau tata ruang. Sebagai contoh, bilangan π berasal dari rasio keliling dan diameter lingkaran (π = keliling/diameter). Namun, tidak demikian dengan bilangan Euler (e). Bilangan Euler tidak berdasarkan kepada bentuk atau geometri, tetapi berdasarkan laju perubahan.

Awalnya, pada abad ke-17, seorang fisikawan dan matematikawan bernama Jacob Bernoulli tertarik dengan masalah bunga bank. Misalkan kita menyimpan uang 1 dolar di bank dan bank memberikan beberapa penawaran bunga seperti berikut ini.

  1. Bank mau memberikan bunga 100% setiap tahun. Setelah setahun uang kita akan bertambah 100% sehingga di tahun berikutnya uang kita menjadi (1 + 1 × 100%) dolar = 2 dolar.
  2. Penawaran 50% setiap 6 bulan sekali. Dalam 6 bulan pertama uang kita menjadi (1 + ½), dan enam bulan berikutnya menjadi (1 + ½) + [(1 + ½ ) × ½] = 1 × (1 + 1/2)2 = 2,25 dolar. Wow! Semakin beruntung!
  3. Bagaimana jika kita buat penambahan bunganya semakin sering? Misalnya, penawaran 1 kali dalam sebulan untuk setahun dengan bunga (1/12) dari tabungan awal. Kita akan mendapat 1 × (1 + 1/12)12 = 2,61 dolar
  4. Untuk penawaran 1 kali dalam satu minggu dengan bunga (1/52) dari tabungan, kita bisa mendapatkan 1 × (1 + 1/52)52 = 2,69 dolar.

Bagaimana jika bunganya semakin sering seperti dalam sehari, setiap jam, setiap menit, setiap detik, setiap nanodetik, dan seterusnya menjadi pemberian bunga yang selalu berlanjut?  Berapa hasil yang didapat untuk pemberian bunga yang selalu berlanjut itu? Itulah yang Bernoulli ingin ketahui. Namun, dia tidak berhasil mendapatkannya saat itu. Dia hanya mengira bahwa hasil itu haruslah suatu angka di antara 2 dan 3. Nah, 50 tahun kemudian Euler yang berhasil menemukannya. Euler mendefinisikannya sebagai formula baru, yaitu

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = 2,718281828\ldots

Contoh lain penggunaan bilangan e adalah untuk menghitung jumlah penduduk suatu negara jika diketahui laju pertumbuhan. Misalkan Indonesia memiliki laju pertumbuhan penduduk r = 1,2% per tahun. Pada tahun 2013, jumlah penduduk Indonesia adalah P0 = 249,9 juta jiwa. Dengan memanfaatkan bilangan Euler, jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2023 (atau 10 tahun kemudian) dapat diprediksi sebagai berikut:

 P = P_0 e^{rt} = 249,9 e^{\frac{1,2}{100} \times 10} = 281, 7 juta jiwa.

Di dalam pelajaran fisika atom, bilangan e sering dipakai untuk mengukur peluruhan unsur radioaktif.  Contoh kasusnya, jika 100,0 mg neptunium-239 (239Np) meluruh menjadi 73,36 mg setelah 24 jam, berapakah laju peluruhan per harinya? Kita bisa menggunakan persamaan berikut ini:

N = N_0 e^{-\lambda t},

dengan λ adalah laju peluruhan. Perhatikan pangkat negatif pada argumen e menunjukkan bahwa nilai N selalu meluruh atau lebih kecil dibandingkan N0. Dengan memasukkan bilangan-bilangan yang diketahui, kita bisa uraikan:

73,36 = 100 e^{-\lambda \times 1},
0,7336 = e^{-\lambda},
\lambda = -\ln 0,7336 = 0,309.

Dengan demikian, kita peroleh laju peluruhan neptunium adalah sekitar 31% per hari.

Hal lain yang menarik dari bilangan e adalah bila kita menggambar kurva y = ex, nilai luas di bawah kurva pada rentang x  = -∞ hingga x = x1 akan bernilai ex1. Perhatikan gambar, kita misalkan x1 = 1, maka luasan di bawah kurva berwarna merah muda bernilai e. Selain itu, gradien garis singgung kurva pada titik x1 juga bernilai ex1. Perhatikan garis biru pada gambar, yang merupakan garis singgung y = ex di titik x = 1. Gradien garis singgung ini bernilai e. Ini dapat dilihat dari bertambahnya nilai x sebanyak 1 satuan, maka nilai y naik sebanyak e satuan. Oleh karenanya, fungsi ex menjadi “bahasa” natural untuk menggambarkan pertumbuhan karena luas kurva dan gradiennya juga bernilai ex. Dari situ, bilangan Euler dikenal memiliki nama lain, yakni bilangan natural.

Bahan bacaan:

Penulis:
Evelyn Pratami Sinaga, alumnus Jurusan Fisika, Tohoku University, Jepang.
Kontak: evelynpratami(at)gmail(dot)com.