Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Paradoks Deret Tak Hingga

Deret tak hingga memiliki banyak sekali aplikasi dalam sains dan teknologi.  Secara umum, kita dapat mengklasifikasikan deret tak hingga berdasarkan sifat hasil penjumlahannya menjadi dua macam:

  • Deret konvergen: hasil penjumlahannya cenderung menuju satu nilai yang berhingga.
  • Deret divergen: hasil penjumlahannya tidak menuju nilai tertentu.

Di sini kita akan sedikit bermain-bermain dengan suatu “paradoks” yang sebenarnya bukan paradoks jika kita paham sifat deret yang dimaksud.

Langsung saja, misalkan

Ed08-matematika-1

Perhatikan hasil penjumlahan deret menurut cara tersebut adalah nol. Akan tetapi, ketika kita melakukan pengelompokan yang berbeda terhadap anggota (bilangan) dalam deret tersebut, hasilnya adalah

Ed08-matematika-2

Oleh karena S = 1 dan S (yang sama) = 0, kita dapatkan 1 = 0. Lho? Kok bisa?

Jika kasus tersebut belum cukup membuat kita menangis ;( , mari coba contoh yang lain.

Misalkan

Ed08-matematika-3

Sebutlah persamaan ini sebagai persamaan A. Di sini jelas sekali bahwa S bernilai positif. Demikian pula,

Ed08-matematika-4

bernilai positif. Sebutlah persamaan ini sebagai persamaan B. Sekarang, jika kita kalikan kedua sisi persamaan A dengan angka dua (baca: “2”), kita peroleh

Ed08-matematika-5

Sebutlah yang terakhir ini sebagai persamaan C. Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan B ternyata sama dengan persamaan C sehingga

Ed08-matematika-6

Kesimpulannya S = -1 (oh no!!!).

Sepintas wajar (dan cerdas) kita bisa memecahkan hasil penjumlahan untuk S yang menurut perhitungan terakhir hasilnya adalah -1. Tapi justru di sini masalahnya. Ingat lagi bahwa kita sebelumnya sudah memastikan bahwa S itu harus positif, anehnya kita malah mendapatkan hasil yang negatif.

Tanya kenapa? Ada yang bisa jawab? (tapi tidak ada hadiahnya, lho :D ) Ternyata alasan mengapa seolah ada “paradoks” itu dikarenakan semua deret yang dibahas dalam tulisan ini adalah deret yang divergen, hasil penjumlahannya tidak dapat menuju satu nilai tertentu yang tetap. Kalau masih bingung, silakan pikirkan lebih lanjut melalui bahan bacaan yang diberikan di bawah ini.

Catatan:
Tulisan ini diterbitkan ulang oleh penulis dengan beberapa perubahan dari salah satu arsip artikelnya di komunitas 102FM ITB.

Bahan bacaan:

Penulis:
Ahmad Ridwan T. Nugraha, peneliti fisika, alumnus ITB dan Tohoku University.
Kontak: art.nugraha(at)gmail(dot)com.