Tak Terdefinisi dan Tak Tentu

Teman-teman mungkin sudah pernah belajar bahwa sebuah angka yang dibagi dengan “nol” maka hasilnya adalah tidak terdefinisi (undefined) atau tidak tentu (indeterminate). Tahukah teman-teman mengapa hal tersebut bisa terjadi? Baiklah, mari kita bahas dua istilah matematika ini: UNDEFINED and INDETERMINATE!

Dalam pembagian, berlaku aturan bahwa sebuah bilangan yang dibagi dengan bilangan itu sendiri maka hasilnya adalah 1. Contoh:

\displaystyle \frac{0,1}{0,1} = 1

\displaystyle \frac{0,001}{0,001} = 1

\displaystyle \frac{0,00000001}{0,00000001} =1

Lalu, dapatkah kita katakan

\displaystyle \frac{0}{0} = 1

Selain itu, dalam pembagian, berlaku juga aturan bahwa bilangan nol yang dibagi sebuah bilangan maka hasilnya adalah nol. Contoh:

\displaystyle \frac{0}{0,1} = 0

\displaystyle \frac{0}{0,001} = 0

\displaystyle \frac{0}{0,00000001} =0

Sekarang muncul argumen lain, dapatkah kita katakan

\displaystyle \frac{0}{0} = 0

Perhatikan bahwa semakin kecil, kecil, dan kecil bahkan mendekati nol nilai pembagi maka akan semakin besar hasil pembagiannya. Contoh:

\displaystyle \frac{1}{0,1} = 10

\displaystyle \frac{1}{0,01} = 100

\displaystyle \frac{1}{0,000001} = 1.000.000

\displaystyle \frac{1}{0} = +\infty

Bagaimana bila nilai pembaginya negatif? Contoh:

\displaystyle \frac{1}{-0,1} = -10

\displaystyle \frac{1}{-0,01} = -100

\displaystyle \frac{1}{-0,000001} = -1.000.000

\displaystyle \frac{1}{0} = -\infty

Anehnya kita mendapatkan hasil yang bertolak belakang. Di awal kita dapat berargumen bahwa $\frac{1}{0} = +\infty$ , tetapi kita juga memiliki argumen yang kuat bahwa $\frac{1}{0} = -\infty$ .

Itulah sebabnya para ahli matematika terdahulu mengatakan, “There’s just no good answer, no good definition here.” Bukannya tidak ada jawaban, melainkan tidak ada definisi yang baik dalam masalah ini. Dari masalah inilah muncul istilah tak terdefinisi (undefined) dan tak tentu (indeterminate).

Misalkan:

$x$ dibagi $y$ kemudian dikali $y$ maka hasilnya adalah $x$ :

\displaystyle \frac{x}{y} \times \it{y} = \it{x}

$x$ dikali nol hasilnya adalah nol, berapapun nilai $x$ :

x \times 0 = 0

Kedua persamaan di atas ini benar dan tidak kontradiktif.

Sekarang kita lihat kasus sebuah bilangan selain nol bila dibagi nol menghasilkan sebuah bilangan. Mari kita asumsikan $x \neq 0$ :

\displaystyle \frac{x}{0} = k

Hilangkan penyebut dengan cara mengalikan angka nol pada ruas kiri dan ruas kanan persamaan:

\displaystyle \frac{x}{0} \times 0 = k \times 0

Dari sini kita dapatkan:

x = 0

Ternyata hasil akhir ini kontradiktif dengan asumsi awal, yaitu $x \neq 0$ . Itulah sebabnya, x dibagi dengan nol dikatakan tidak terdefinisi.

Sekarang kita lihat kasus sebuah bilangan nol bila dibagi nol menghasilkan sebuah bilangan. Mari kita asumsikan $x = 0$ :

$\displaystyle \frac{0}{0} = k$

$\displaystyle \frac{0}{0} \times 0 = k \times 0$

$0 = k \times 0$

Persamaan di atas benar, berapapun nilai k. Akan tetapi, kita tidak dapat menentukan berapakah nilai $k$ , bisa jadi 50, 1000, -75, dsb. Itulah sebabnya, nol dibagi dengan nol dikatakan tidak tentu.

Kita rangkum uraian di atas:

$\displaystyle \frac{x}{0} = \textrm{tak terdefinisi} (undefined)$

$\displaystyle \frac{0}{0} = \textrm{tak tentu} (indeterminate)$

Cerita belum berakhir di sini. Ternyata 0/0 tidak selalu tak tentu bila kita memberikan konteks padanya. Konteks tersebut adalah limit. Bernard Bolzano pada tahun 1817 menemukan teknik limit untuk menyelidiki apakah suatu fungsi bersifat kontinu. Contohnya adalah,

\displaystyle \frac{\sin x}{x}

Bila tidak kita berikan limit, saat x = 0 nilai sin x = 0, sehingga

\displaystyle \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0}

Kita kembali mendapatkan suatu nilai yang tak tentu. Akan tetapi, saat kita berikan limit $x$ mendekati 0, kita punya $\sin x = x$ , sehingga

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Konsep limit menjadi dasar asumsi dalam kalkulus diferensial yang mendeskripsikan perubahan suatu fungsi terhadap suatu parameter yang sangat kecil. Menarik, bukan?

Bahan bacaan:

Penulis:
Grace Natalia Daryana, alumnus Jurusan Farmasi, Universitas Indonesia.
Kontak: frsigrace(at)gmail(dot)com.

Tak Terdefinisi dan Tak Tentu