Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Probabilitas Hari Ulang Tahun yang Sama

Bayangkan kita ada di sebuah busway di Jakarta. Bus itu mungkin tidak terisi penuh, bersama penumpang dan supir serta kita, jumlahnya 24 orang. Sangat mungkin kalau penumpang bus tidak saling kenal satu sama lain. Dapat kita asumsikan bahwa hari ulang tahun setiap orang tersebar secara acak sepanjang tahun.

Walaupun jumlah orang di dalam bus tidak terlalu banyak, kita dapat mengatakan bahwa peluang ditemukannya 2 orang dengan tanggal lahir yang sama ternyata cukup besar. Apa kamu percaya hal ini? Jutaan orang mungkin tidak percaya. Tetapi hal ini yang membuat ahli probabilitas, William Feller, terkesima.

Mungkin 24 orang di dalam busway terlalu sedikit untuk probabilitas yang lebih besar. Kita dapat bertanya sekarang, berapa banyak orang harus berkumpul bersama supaya dapat dipastikan minimal dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama?

Terdapat 365 hari di dalam satu tahun (asumsi: tidak pedulikan kabisat). Bila ada 366 orang berkumpul di suatu ruangan, dapat dipastikan minimal 1 pasang orang akan memiliki hari lahir yang sama. Tidak mungkin 366 orang seluruhnya memiliki hari ulang tahun yang unik. Hal ini mirip dengan permasalahan lubang sarang burung dara. Jika terdapat n + 1 burung dara tetapi hanya terdapat n lubang, dapat dipastikan minimal satu lubang diisi oleh dua burung dara.

Jika terdapat 365 orang, kita belum yakin bakal ada orang berulang tahun sama. Mungkin saja setiap orang memiliki ulang tahun yang berbeda-beda semuanya. Akan tetapi, peluang 365 orang memiliki hari lahir yang unik sangat-sangat kecil. Bahkan jika hanya terdapat 50 orang saja di suatu ruangan, peluang menemukan hari ulang tahun yang sama adalah 96,5%.

Kalau jumlah orang dikecilkan menjadi 23, kita masih menemukan peluang lebih dari 50%. Bila dikurangi menjadi 22 orang, peluangnya sedikit di bawah 50%. Jumlah 23 orang di sini merupakan jumlah kritis. Jawaban dari masalah yang klasik ini sangat menakjubkan.

Bagaimana membuktikannya?

Mari kita pilih satu orang secara acak bernama A. Probabilitas orang lain (B) memiliki ulang tahun yang sama dengan A adalah 1/365. Maka, probabilitas bahwa dua orang ini berulang tahun di hari yang berbeda adalah 1 – (1/365) = 364/365. Hampir dipastikan bahwa A dan B tidak memiliki ulang tahun yang sama.

Sekarang kita pilih orang yang ketiga (C). Probabilitas C memiliki ulang tahun yang sama dengan A dan B  adalah 2/365. Probabilitas C tidak memiliki hari lahir yang sama dengan A dan B  adalah 1 – (2/365) = 363/365. Probabilitas A, B, dan C tidak saling memiliki hari lahir yang sama adalah perkalian dari dua kemungkinan di atas, yaitu 364/365 × 363/365 = 0,9918.

Bila perhitungan ini terus dilanjutkan untuk 4, 5, 6, … orang, dan seterusnya, kita dapat membuktikan pernyataan yang kita sampaikan di atas. Bila kita sampai pada perhitungan 23 orang, kita akan mendapatkan bahwa di antara 23 orang tersebut yang tidak saling berbagi hari lahir didapatkan probabilitas 0,4927. Artinya, peluang minimal ditemukan dua orang berhari lahir sama adalah 0,5073, sedikit lebih besar dari probabilitas kritis ½.

Hasil yang di luar dugaan ini muncul karena kita membebaskan siapapun boleh menjadi kandidat yang memiliki hari ulang tahun yang sama. Namun, bila pertanyaannya sedikit kita ganti, siapa yang memiliki hari ulang tahun yang sama dengan Pak Budi, misalkan 8 Maret, tentu hasilnya akan berbeda.

Kemungkinan satu orang tidak berulang tahun di hari yang sama dengan Pak Budi adalah 364/365. Untuk menggeneralisasi, probabilitas n orang di dalam ruangan selain Pak Budi lahir pada 8 Maret adalah (364/365)n. Oleh karena itu, peluang untuk mendapatkan n orang yang lahir bersamaan dengan Pak Budi adalah 1 – (364/365)n. Bila ada 23 orang di dalam ruangan, n = 22 (Pak Budi tidak dihitung), kita mendapatkan hanya 0,06 atau 6% kemungkinan seseorang lahir pada 8 Maret. Kita butuh sampai 254 orang di ruangan untuk mendapatkan probabilitas di atas 50%.

Bahan bacaan:

Penulis:
Eddwi Hesky Hasdeo, Peneliti di Pusat Penelitian Fisika, Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com