Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Matematika Jaringan dan Koneksi

Teman-teman pasti sudah pernah mendengar atau familiar dengan istilah network. Kata network sering dikaitkan dengan komputer, koneksi internet, ataupun dalam bahasa Indonesia kita artikan sebagai jaringan. Tak jarang orang mengartikan network sebagai jumlah kenalan. Misalkan saja kita baru pindah ke tempat tinggal yang baru, pindah sekolah, atau bertemu dengan teman-teman yang baru, apa yang pertama kita lakukan? Mungkin kebanyakan mencari network berupa jaringan persahabatan. Nah, ternyata network ini dapat dipelajari lewat matematika, lo. Penasaran kan bagaimana caranya? Let’s find it out!

Seperti cerita di atas saat kita berada di tempat yang baru, kita akan mencari koneksi kita. Nah di dalam matematika, koneksi jaringan yang sering dilambangkan dengan titik atau node dapat ditunjukkan seperti gambar di bawah ini.

Misalkan ada sebuah kota bernama Kota Teratur. Setiap orang di Kota Teratur akan memiliki hanya 4 kenalan, atau dengan kata lain memiliki 4 derajat node. Jadi, setiap titik akan terhubung oleh 4 titik lain melalui garis, demikian seterusnya. Dengan mengulangi sistem yang seperti ini pada jaringan atau network, setiap titik yang di ujung akan segera dipenuhi oleh 4 titik dan network-nya akan terus berkembang.

Bila kita gambarkan persentase seluruh node terhadap derajat node (jumlah kenalan tiap orang) kita akan mendapatkan hasil seperti gambar di bawah ini. Mayoritas orang memiliki 4 kenalan, sedangkan orang-orang yang memiliki kenalan kurang dari 4, adalah mereka yang berada di sisi ataupun di pojokan.

Tentu saja Kota Teratur bukanlah model yang tepat untuk menggambarkan suatu jaringan. Kita tidak mungkin membatasi bahwa setiap orang harus punya 4 kenalan. Mungkin ada di antara mereka yang punya lebih dari 4, atau juga yang punya kenalan kurang dari 4. Mari kita mempelajari bentuk jaringan yang lainnya di Kota Acak.

Di Kota Acak, setiap individu dapat berhubungan dengan sebanyak mungkin orang. Saat jaringan yang ada semakin berkembang, titik-titik yang terdapat dalam jaringan tidak lagi hanya berhubungan dengan 4 titik yang ada (berbentuk persegi) seperti yang ada pada gambar di atas, tetapi lebih kompleks. Bisa juga jaringan yang kita punya lebih sedikit sehingga kita tidak melengkapi 4 titik yang ada. Di dalam kondisi yang seperti ini kita akan menemukan bahwa untuk setiap koneksi antartitik itu ada sudut yang terbentuk. Semakin kecil sudut node, semakin banyak koneksi. Sebaliknya, semakin besar sudut node, semakin sedikit koneksi.

Pada kasus di Kota Acak bisa kita sebutkan bahwa setiap orang yang ada di desa tersebut memiliki node sendiri sehingga setiap node memiliki sudut yang berbeda-beda (gambar di bawah). Misalkan di Kota Acak terdapat 10 orang dan terdapat kemungkinan satu orang untuk berteman dengan 9 orang yang lainnya. Jumlah pertemanan yang muncul sepertinya dapat dengan mudah ditentukan, yaitu 9 x 10 = 90 koneksi. Tetapi tunggu dulu, kita telah melakukan dua kali hitung untuk satu pertemanan yang sama. Oleh sebab itu, jumlah pertemanan yang mungkin adalah 90 : 2 = 45.

Bila secara acak dipilih satu orang, berapakah kemungkinan orang yang terpilih itu mengenal kita? Jawabannya, kita dapat hitung sebagai 9/ 45  = 20%. Dalam hal ini, 9 adalah jumlah orang yang mengenal kita. Nilai 20% tersebut berarti terdapat 20% peluang untuk setiap orang dikenal di satu Kota Acak yang berpenduduk 10 orang.

Kini bila jumlah penduduk semakin bertambah, probabilitas seorang dikenal akan berubah walau hanya sedikit. Fungsi distribusi akan bergeser sedikit ke kiri atau ke kanan. Namun, probabilitas seseorang untuk memiliki terlalu sedikit atau terlalu banyak teman sangatlah kecil. Bila digambarkan, fungsi distribusi tersebut akan memenuhi bentuk binomial seperti gambar di bawah.

Kedua contoh di Kota Teratur dan Kota Acak merupakan model sederhana suatu jaringan. Orang dengan sangat banyak teman bukanlah hal yang tidak normal seperti kurva binomial di atas. Jadi, bagaimanakah bentuk model jaringan yang lebih realistis?

Semakin kita membentuk koneksi dengan teman atau dengan temannya teman, struktur persahabatan kita lebih menyerupai bentuk jaringan bebas skala (scale-free networks). Struktur jaringan seperti ini banyak ditemukan di jaringan makanan, interaksi protein, dan internet.

Struktur bebas skala.

Struktur scale-free memenuhi prinsip “kelekatan minat” (preference attachment). Prinsip ini mirip dengan aturan “yang kaya semakin kaya”. Semakin banyak koneksi yang dimiliki seseorang, semakin cepat koneksi orang tersebut untuk menjadi makin banyak.

Bahan bacaan:

Penulis:
Evelyn Pratami Sinaga, Guru SMPK IPEKA, BSD. Kontak: evelynpratami(at)gmail(dot)com