Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Yang Tersembunyi dari Bilangan Kompleks

Kita telah membahas di salah satu artikel Majalah 1000guru bahwa bilangan imajiner sesungguhnya benar-benar nyata, hanya saja dimensinya berbeda dengan bilangan riil. Gabungan bilangan riil dan imajiner membentuk suatu bilangan kompleks. Dalam tulisan ini, kita akan menguak beberapa hal yang tersembunyi di dalam bilangan kompleks, yang akan memudahkan kita melakukan perhitungan matematis.

Bilangan kompleks ditulis sebagai pasangan terurut dua bilangan riil, z = x + i y, dengan x = \mathrm{Re} z (bagian riil dari bilangan kompleks), dan y = \mathrm{Im} z (bagian imajiner dari bilangan kompleks). Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu dari persamaan kuadrat

az^2 + bz + c = 0.

Cara penyelesaiannya adalah dengan menggunakan rumus berikut:

z_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}

Jika diskriminan d = (b^2 -4ac) bernilai negatif, kita akan menemui akar bernilai negatif untuk menentukan nilai z. Karena hanya bilangan positif yang memiliki nilai akar kuadrat riil, kita mendapatkan bilangan baru yang disebut dengan bilangan imajiner. Kita menggunakan simbol i = \sqrt{-1} dengan pemahaman bahwa i^2 = -1. Contohnya: \sqrt{-16} = 4i\sqrt{-3} = i\sqrt{3}, dan i^3 = -1 adalah bilangan imajiner. Sementara itu, i^2 = ^1, \sqrt{-2}\sqrt{-8} = i\sqrt{2}.i\sqrt{8}=-4, dan i^{4n}  adalah bilangan riil. Kombinasi dari kedua bilangan ini disebut sebagai bilangan kompleks. Misalnya seperti solusi persamaan berikut:

z^2 - 2 z + 2 = 0

z = \displaystyle\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i

Seperti disebutkan di awal, bilangan kompleks direpresentasikan ke dalam bentuk z = x + iy. Hal ini dapat digambarkan seperti sebuah titik yang terletak di bidang dua dimensi, dengan sumbu x adalah sumbu bilangan riil dan sumbu y adalah sumbu bilangan imajiner.

Representasi penulisan z = x + iy disebut juga dengan representasi Kartesian. Representasi lain yang serupa adalah representasi polar. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa x = r \cos \theta dan y = r \sin \theta sehingga

z = r (\cos\theta + i \sin\theta)

dengan r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} sebagai modulus atau nilai absolut bilangan kompleks z, dan \theta = \textrm{arg} (z) = \tan^{-1} (y/x) adalah sudut (atau fase atau argumen) bilangan kompleks z.

Contoh: Tuliskan z = -1 - i dalam bentuk polar! Kita bisa uraikan,

x = -1, y = -1, r = \sqrt{2},

sehingga \theta = \frac{5\pi}{4} + 2 n \pi. Ilustrasi contoh soal ini diberikan pada gambar.

Dari pengertian di atas, bilangan kompleks dapat dianggap sebagai fasor atau vektor yang arahnya ditentukan oleh sudut fasa. Bentuk representasi polar bilangan kompleks juga dapat disederhanakan menjadi bentuk eksponen. Perhatikan uraian deret Maclaurin untuk sin x, cos x, dan ex berikut ini:

\sin x = x - \displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} - \ldots

\cos x = 1 - \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} - \ldots

Kita dapatkan hubungan:

e^{i\theta} = 1 + i\theta + \displaystyle\frac{(i\theta)^2}{2!} + \displaystyle\frac{(i\theta)^3}{3!} + \displaystyle\frac{(i\theta)^4}{4!} + \displaystyle\frac{(i\theta)^5}{5!} + \ldots

e^{i\theta} = 1 + i\theta - \displaystyle\frac{\theta^2}{2!} - \displaystyle\frac{i \theta^3}{3!} + \displaystyle\frac{\theta^4}{4!} + \displaystyle\frac{i \theta^5}{5!} + \ldots

e^{i \theta} = 1 - \displaystyle\frac{\theta^2}{2!} +  \frac{\theta^4}{4!} + \ldots + i \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} + \ldots \right)

e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin\theta

Persamaan di atas disebut persamaan Euler. Dengan demikian, penulisan bilangan kompleks dalam bentuk eksponen adalah sebagai berikut:

z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}

Hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks dapat dituliskan sebagai:

\sin \theta = \displaystyle \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2 i}

\cos \theta = \displaystyle \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

Bentuk ini banyak dipakai dalam operasi perkalian dan pemangkatan, juga pada kasus-kasus yang melibatkan fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang, getaran, hingga mekanika kuantum.

Aljabar Bilangan Kompleks

Dengan menggunakan aturan bahwa bilangan imajiner satuan i diperlakukan sebagai suatu variabel riil, kita dapat membangun aturan aljabar bilangan kompleks, yakni: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalkan z_1 = x_1 + iy_1 dan z_2 = x_2 + iy_2 dua bilangan kompleks, maka operasi aljabar antara kedua bilangan kompleks ini didefinisikan memberikan pula suatu bilangan kompleks baru z = x + iy.

1. Penjumlahan / pengurangan

z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)

Operasi penjumlahan/pengurangan bilangan kompleks lebih mudah bila persamaan dalam bentuk kartesian. Penjumlahan dua bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan dua buah vektor. Secara grafik dapat dilihat pada gambar.

2. Perkalian

z_1 z_2 = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i y_1 x_2 + i^2 y_1 y_2

z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2) [*]

Modulus dari z_1 z_2 adalah

|z_1 z_2| = \sqrt{(x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 + y_1 x_2)^2}

|z_1 z_2| = \sqrt{(x_1 x_2)^2 + (y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2)^2 + (y_1 x_2)^2}

|z_1 z_2| = \sqrt{(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)} = r_1 r_2

Di dalam representasi polar, perkalian dua bilangan kompleks terlihat lebih mudah:

z_1 = r_1 e^{i\theta_1}

z_2= r_2 e^{i\theta_2}

z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

Perkalian dua bilangan kompleks dapat digambarkan dalam bidang kompleks polar seperti pada gambar, yaitu modulus dikalikan sedangkan sudut argumennya ditambahkan.

Dengan melakukan perbandingan persamaan [*] dan [**], kita memperoleh

Dari hasil terakhir ini, kita dapatkan persamaan trigonometri sudut jumlah yang cukup terkenal:

3. Pembagian

Dalam bentuk polar menjadi:

\displaystyle\frac{z_1}{z_2} = \displaystyle \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \displaystyle\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

Operasi perkalian atau pembagian bilangan kompleks lebih mudah bila persamaan dalam bentuk polar.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa aljabar bilangan kompleks memiliki keterkaitan yang cukup erat dengan konsep vektor, trigonometri dan eksponen. Menarik, bukan?

Penulis:
Layli Amaliya, Dosen di Jurusan Fisika Universitas Gajayana, Malang.
Kontak: layliamaliya14(at)gmail.com