Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Matematika Penyebaran Rumor

Pernahkah teman-teman berpikir bagaimana cepatnya suatu rumor atau gosip dapat tersebar? Dalam artikel matematika kali ini kita akan membahas bagaimana penyebaran rumor dapat dimodelkan dengan persamaan matematika. Kita akan mengambil studi kasus di dalam dunia perusahaan.

Misalkan perusahaan Angin Topan memiliki N karyawan. Pada hari Senin sebuah rumor mulai tersebar di antara mereka bahwa CEO (pimpinan perusahaan) Angin Topan mendadak ingin mengundurkan diri dari jabatannya. Secara rasional dapat diasumsikan bahwa kecepatan penyebaran rumor berbanding lurus dengan jumlah pertemuan yang mungkin terjadi di antara karyawan yang telah mendengar rumor dengan yang belum.

Anggap y = y(t) sebagai jumlah karyawan yang sudah mendengar rumor setelah hari ke t. Jumlah pertemuan yang mungkin di antara karyawan yang sudah mendengar rumor dan yang belum adalah jumlah orang yang sudah mendengar rumor dikalikan dengan jumlah yang belum mendengar, yaitu y(Ny). Kita dapat menuliskan persamaan diferensial yang menjelaskan model penyebaran rumor ini sebagai berikut,

\displaystyle\frac{dy}{dt} = ky (N - y).

Persamaan ini merupakan “singkatan” dari fakta bahwa laju pertambahan jumlah orang yang mendengar rumor berbanding lurus dengan jumlah pertemuan yang terjadi. Ingat bahwa “berbanding lurus” berarti sama artinya dengan “dikalikan suatu konstanta k”.

Persamaan ini dapat diselesaikan pertama-tama dengan memisahkan variabel

\displaystyle\frac{dy}{y(N - y)} = k dt.

Selanjutnya, integralkan kedua ruas:

\displaystyle\int \frac{dy}{y (N - y)} = \displaystyle\int k dt = k t + C ,

dalam hal ini adalah suatu konstanta yang akan dicari melalui syarat batas.

Untuk mempermudah proses integrasi di ruas kiri, kita gunakan pecahan parsial,

\displaystyle\frac{1}{y (N - y)} = \displaystyle\frac{A}{y} + \displaystyle\frac{B}{N - y}

\Leftrightarrow 1 = A(N - y) + B y

Dari persamaan di atas, nilai  A didapat dengan mencocokkan nilai konstanta di kedua ruas,

A = \displaystyle\frac{1}{N}.

Nilai B dapat diketahui dari mencocokkan nilai yang mengandung variabel y di kedua ruas,

B = \displaystyle\frac{1}{N}.

Kini kita dapatkan

\displaystyle\int \frac{dy}{y (N - y)} = \displaystyle\frac{1}{N} \int \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{N - y}\right) dy

 = \displaystyle\frac{1}{N} [\ln(y) - \ln(N-y)] + C

yang disederhanakan menjadi,

\displaystyle\frac{1}{N} \ln\left(\frac{y}{N - y}\right) = k t + C.

(Catatan: \displaystyle \frac{y}{N - y} \geq 0 )

Untuk menyelesaikan y, kita susun persamaan di atas menjadi:

\displaystyle\frac{y}{N - y} = A e^{N k t}, dengan A = N^C

sehingga kita dapatkan rumus akhirnya untuk jumlah karyawan y(t) yang mendengar rumor:

y = N \displaystyle \frac{A e^{N k t}}{1 + A e^{N k t}}

Misalkan jumlah karyawan adalah 1000. Pada hari Senin, 50 orang telah mendengar rumor (mereka menghadiri pertemuan yang sama dengan sumber rumor). Kita dapat menghitung nilai konstanta A dulu. Subtitusikan nilai t = 0 dan y = 50:

50 = 1000 \displaystyle \frac{A}{1 + A}

Dengan demikian, A = 1/19 dan

y = 1000 \displaystyle \frac{e^{1000kt}}{19 + e^{1000 kt}}

Pada Selasa pagi, 100 orang telah mendengar rumor. Kita bisa hitung nilai konstanta k. Pada Selasa pagi, t = 1 hari dan y = 100 sehingga

100 = 100 \displaystyle \frac{e^{1000 k t}}{19 + e^{1000 k t}}

Selesaikan dan kita memperoleh e1000kt = 19/9  atau

k = \displaystyle\frac{1}{1000} \ln\left(\displaystyle \frac{19}{9}\right)

Jadi, secara lengkapnya kita punya rumus

y = 1000 \displaystyle\frac{e^{t \ln (19/9)}}{19 + e^{\ln(19/9)}}

untuk kondisi yang kita punya dalam persamalahan ini. Bila kita ditanya, kapan 800 orang akan mendengar rumor? Kita substitusi y = 800 sehingga

800 = 1000 \displaystyle\frac{e^{t \ln (19/9)}}{19 + e^{\ln(19/9)}}

dan kita peroleh

t = \displaystyle\frac{\ln(76)}{\ln(19/9)} \approx 5,7958

Ini sekitar 5 hari, 19 jam, 6 menit setelah rumor tersebar. Jika, sebagai contoh, rumor dimulai pada pukul 09:00 pagi di suatu hari Sabtu, sudah akan ada 800 orang yang mendengar rumor itu pada pukul 4:06 pagi di hari Jumat pekan berikutnya.

Dari contoh soal di atas, rumor yang awalnya hanya didengar oleh 5% karyawan perusahaan Angin Topan hanya memerlukan 5 hari saja untuk tersebar sampai pada 80% total karyawan perusahaan itu. Teman-teman dapat bayangkan dengan era sosial media sekarang, setiap orang memiliki sekitar 1000 teman tentunya dengan cepat dapat saling menyebar rumor. Maka, kita harus berhati-hati dalam menggunakan media sosial, sebarkan lebih banyak kebaikan dan nilai-nilai positif, Hindari hoaks dan hate speech.

Bahan bacaan:

Penulis:
Layli Amaliya, alumnus Jurusan Fisika, Tohoku University, Jepang.
Kontak: layliamaliya14@gmail.com