Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Analisis Dimensi: Menebak Tanpa Menghitung

Laura Morosini dalam sebuah artikel ekonomi mengatakan “GDP (gross domestic product) Nigeria adalah 99 miliar dolar Amerika Serikat (AS). Sementara itu, kekayaan Exxon adalah 119 miliar dolar AS. Ketika perusahaan multinasional memiliki kekayaan lebih tinggi dibandingkan GDP di suatu negara tempatnya beroperasi, bagaimanakah relasi antara kedua kekuatan itu?”

Bila kita teliti sebenarnya ada yang salah dengan kalimat di atas. Kesalahannya akan nyata bila kita mengerti apa arti GDP. GDP atau produk domestik bruto suatu negara adalah besarnya aliran moneter setiap tahun. Kekayaan Nigeria, bila diasumsikan GDP-nya konstan, akan bernilai 99 miliar USD dalam rentang 1 tahun atau lebih kecil dari kekayaan Exxon. Bila rentang waktu diperpanjang, misalkan 10 tahun, kekayaan Nigeria menjadi 990 miliar USD, jauh lebih besar dari kekayaan Exxon. Kesalahan terjadi saat kita membandingkan GDP suatu negara dengan kekayaan suatu perusahaan. Dua kuantitas tersebut merupakan kuantitas yang berbeda sehingga membandingkan keduanya akan menghasilkan kesimpulan yang tidak masuk akal. Sama seperti membandingkan 1 km/jam dengan 1 km.

Tahun 1822, Joseph Fourier memperkenalkan konsep analisis dimensi. Dimensi dalam hal ini bukan konsep geometri seperti garis berada di 1 dimensi, bangun datar di 2 dimensi dan bangun ruang di 3 dimensi. Akan tetapi, dimensi ini terkait erat dengan besaran pokok fisika seperti panjang [L], massa [M], dan waktu [T]. Besaran turunan dalam fisika dapat diturunkan dengan analisis dimensi, seperti kecepatan [L/T], percepatan [L/T2], dan gaya [ML/T2]. Kita hanya dapat membandingkan dua kuantitas yang memiliki dimensi yang sama, contohnya panjang garis pantai Indonesia dengan keliling bumi. Massa bumi dibandingkan dengan massa bulan. Periode rotasi dengan periode revolusi bumi, dan sebagainya.

Analisis dimensi sangat bermanfaat bila kita aplikasikan untuk menebak suatu permasalahan matematika tanpa benar-benar menghitungnya dengan rumus. Wow! Mau tahu? Kita akan uraikan beberapa contohnya dalam artikel ini.

Benda jatuh bebas

Tentukan kecepatan benda yang jatuh bebas dari ketinggian h. Anggap percepatan gravitasi g. Kita tuliskan kecepatan di ruas kiri bergantung pada kuantitas ketinggian dan percepatan di ruas kanan.

v = h^\alpha g^\beta

\alpha,\beta adalah suatu nilai yang akan kita cari. Karena dimensi di ruas kanan harus sama dengan dimensi di ruas kiri, kita tulis

[LT^{-1}] = [L]^\alpha[LT^{-2}]^\beta [L][T^{-1}] = [L]^{\alpha + \beta}[T^{-2\beta}]

Dengan menyamakan nilai pangkat L dan T di ruas kiri dan kanan, 1 = \alpha + \beta dan -1 = -2\beta. Jadi, kita mendapatkan solusi \alpha = 1/2 dan \beta = 1/2. Persamaan kecepatan dapat dituliskan menjadi

v = h^{1/2} g^{1/2} = \sqrt{gh}

Persamaan di atas tentu saja hanya merupakan tebakan dan tidak sepenuhnya tepat. Melalui analisis hukum Newton, kita mendapatkan kecepatan gerak jatuh bebas sebesar v = \sqrt{2 gh}. Terdapat faktor konstanta \sqrt{2} yang tidak bisa didapatkan melalui analisis dimensi. Namun, hal tersebut bukanlah masalah besar jika yang kita pentingkan adalah bagaimana suatu kuantitas bergantung secara relatif pada kuantitas lain.

Menganalisis suatu integral

Misalkan kita harus menyelesaikan suatu integral yang rumit semacam berikut ini yang dikenal dengan integral Gauss:

\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = \ldots

Integral ini pada umumnya tidak mudah diselesaikan. Dengan analisis dimensi, secara ajaib kita dapat mengetahui bagaimana nilai integral di ruas kiri bergantung terhadap variabel a di ruas kanan.

Pertama-tama kita harus mengetahui apa dimensi a. Variabel a terdapat pada pangkat suatu bilangan natural e. Eksponen suatu bilangan tidak harus memiliki dimensi karena e hanyalah suatu faktor konstanta. Kita bisa tuliskan dimensi [a][x]^2 = 1 sehingga dimensi [a] = [x]^{-2}. Dimensi dari integral di atas hanya bergantung pada dx, yaitu perubahan nilai x yang kecil sekali (infinitesimal). Dimensi x sama dengan dimensi dx. Oleh karena itu, dimensi integral di atas adalah x.

Ketika kita mengintegralkan suatu variabel, misalkan dx, variabel x akan lenyap sehingga di ruas kanan hanya bergantung pada variabel a. Sekarang kita dapat menuliskan sebagai berikut

\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = a^\gamma

Kita akan mencari nilai \gamma. Dengan analisis dimensi, ruas kiri telah kita ketahui berdimensi [x], sedangkan a di ruas kanan berdimensi [x]^{-2} sehingga

[x] = [x^{^2}]^\gamma

Kita mendapatkan nilai \gamma = -1/2, sehingga integral di atas menjadi

\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = a^{-1/2} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}

Tentu saja hasil ini adalah suatu perkiraan karena nilai integral seberarnya adalah \sqrt{\pi/a}.

Bahan bacaan:

Penulis:
Hesky Hasdeo, Peneliti di Institute of High Performance Computing, Singapura.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com.