Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Paradoks Riemann: Saat A+B Mungkin Tak Sama dengan B+A

Kali ini kita akan belajar salah satu keanehan di dalam matematika yaitu \infty-\infty=\pi . Kita mulai dengan penjumlahan suatu deret berikut

 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}

Deret di atas adalah deret konvergen berubah tanda. Ada berbagai macam cara untuk menghitung nilai deret tersebut. Cara termudah adalah dengan menggambar plot jumlah nilai  ke-n sebagai berikut.

Ed65-matematika-1

Berdasarkan gambar, kita peroleh:

 \sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}=0.6931471805=ln2

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi jika kita memisahkan suku-suku bernilai positif dari suku-suku bernilai negatif:

 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots ,

dan

 -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\dots

Kemudian, kita kelompokkan mereka menjadi seperti ini:

 \left ( 1-\frac{1}{2} \right )-\frac{1}{4}+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right )-\frac{1}{8}+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{10} \right )-\dots

Memindahkan susunan bilangan dalam deret tersebut seharusnya tetap menghasilkan nilai ln 2. Namun, coba kita lihat sekali lagi apa yang terjadi.

 \left ( 1-\frac{1}{2} \right )-\frac{1}{4}+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right )-\frac{1}{8}+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{10} \right )-\dots \newline =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\dots \newline =\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots \right ) \newline =\frac{1}{2}ln2

Sungguh aneh! Hanya dengan mengubah urutan, kita mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda.

Mari kita coba kumpulkan sekali lagi beberapa persamaan di atas dan menganalisis di mana letak kesalahan kita.

 ln2= \left ( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots \right ) \neq \left ( 1-\frac{1}{2} \right )-\frac{1}{4}+ \left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right )-\frac{1}{8}+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{10} \right )-\dots=\frac{1}{2}ln2 .

Kita mendapati bahwa deret konvergen yang berubah tanda di atas sebenarnya terdiri atas deret positif yang divergen

 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots=\infty

dan sebuah deret negatif yang juga divergen

 -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\dots=-\infty

Silakan teman-teman buktikan bahwa kedua deret di atas adalah divergen. Kombinasi dua deret divergen akan menghasilkan jumlah yang berubah-ubah bergantung cara kita menyusunnya. Cara ini ditemukan oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Bernhard Riemann yang kemudian disebut teorema deret Riemann (Riemann’s rearrangement theorem) atau paradoks Riemann.

Dengan dua deret divergen di atas, kita dapat menyusun suatu urutan untuk mendapatkan berapapun nilai yang kita mau. Contohnya  \infty-\infty=\pi . Caranya dengan menyusun deret positif hingga sedikit melebihi nilai  \pi = 3,1415926535 :

 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{149}+\frac{1}{151}=3,1471

kemudian tambahkan nilai negatif:

 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{149}+\frac{1}{151}-\frac{1}{2}=2,6471

tambahkan deret positif kembali:

 1+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{151}-\frac{1}{2}+\frac{1}{153}+\dots+\frac{1}{409}=3,1432

dan seterusnya.

Deret Riemann begitu penting untuk memahami berbagai permasalahan dalam merepresentasikan jumlah deret divergen. Salah satu manfaatnya adalah menemukan jumlah nilai bilangan natural

 \sum_{k=1}^{\infty} k=1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12}

Hasil di atas mungkin akan terlihat sangat aneh bagi kita. Tentu saja jumlah bilangan natural harusnya bernilai tak hingga. Namun lebih aneh lagi, fenomena fisika di alam mengkonfirmasi kebenaran dalam representasi deret divergen tersebut. Salah satu fenomena yang cukup terkenal adalah efek Casimir yang menggunakan deret divergen untuk menghitung kerapatan energi di dalam sistem vakum.

Bahan bacaan:

Penulis:
Eddwi Hesky Hasdeo, mahasiswa doktor di Departemen Fisika, Tohoku University, Jepang.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com.