Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Teori Permainan (Game Theory)

Pada artikel ini kita akan menengok salah satu aplikasi matematika yang relatif baru dalam bidang ekonomi mikro, yaitu “teori permainan” atau game theory. Nama yang menarik, bukan? Teori ini awalnya dikembangkan para matematikawan, namun memiliki banyak aplikasi dalam bidang ekonomi. Banyak film menggambarkan situasi khas game theory, seperti Memento, Ransom, dan The Hunt for Red October. Memang, aplikasi game theory tidak hanya ditemukan dalam ekonomi, tetapi juga manajemen, negosiasi politik, psikologi, bahkan interaksi sosial manusia sehari-hari.

Sebagai teori yang berasal dari matematika, tentunya game theory juga terkait erat dengan ilmu-ilmu nonsosial seperti ilmu komputer, elektronika, hingga fisika. Sementara dari sudut pandang ilmu sosial, dapat dikatakan bahwa game theory berusaha menjelaskan interaksi dan perilaku manusia (ilmu sosial) dari sisi rasional. Dalam ekonomi, game theory menjelaskan perilaku bisnis, misalnya dalam persaingan marketing antara dua atau beberapa perusahaan besar yang menguasai pasar (kartel).

Beberapa pakar game theory terkenal yang mengembangkan teori ini antara lain John Nash, yang kisah hidupnya dituangkan dalam sebuah film terkenal peraih Oscar berjudul A Beautiful Mind. Bersama dengan Reinhard Selten dan John Harsanyi, Nash dianugerahi hadiah Nobel Ekonomi tahun 1994. Selain itu Leonid Hurwicz, Eric Maskin dan Roger Myerson bersama-sama meraih Nobel Ekonomi pada 2007 untuk tema mechanism design theory yang sering juga disebut reversed game theory. Berikut ini kita bahas beberapa strategi interaksi dasar sebagai pengenalan game theory.

Strategi dominan

Pertama, kita belajar cara membaca apa yang disebut sebagai matriks imbalan (pay-off matrix). Di dalam matriks ini, pemain A dapat memilih “atas” atau “bawah”, dan imbalan yang didapatkannya tergantung dari pilihan pemain B yang bisa memilih “kiri” atau “kanan”. Jika A memilih “atas” saat B memilih “kanan”, imbalan yang mereka dapatkan adalah 0 untuk A dan 1 untuk B (sel kuning).

Ed09-matematika-1

Dalam strategi dominan, masing-masing pemain memiliki 1 pilihan optimal yang tidak tergantung pada pilihan pemain lain. Dalam hal ini, A akan selalu memilih “bawah” karena imbalan 2 (“bawah”-“kiri”) atau 1 (“bawah”-“kanan”) tidak pernah lebih buruk daripada 1 (“atas”-“kiri”) atau 0 (“atas”-“kanan”). Demikian pula, bagi B, memilih “kiri” tidak akan pernah lebih buruk daripada memilih “kanan”, apapun pilihan A. Dengan demikian, “bawah” dan “kiri” adalah strategi dominan bagi masing-masing pemain A dan B.

Pada situasi ketika terdapat strategi dominan untuk masing-masing pemain, equilibrium atau titik keseimbangan akan selalu tercapai. Dalam kasus ini, A dengan “bawah”, dan B dengan “kiri”, dengan imbalan 2 untuk A dan 1 untuk B (sel hijau) merupakan keseimbangan strategi dominan (dominant strategy equilibrium).

Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium)

Fenomena ini diformulasikan pada tahun 1951 oleh John Nash, matematikawan yang namanya disebut di awal tulisan. Menurut Nash, strategi dominan tidak selalu ada, bahkan cenderung jarang terjadi. Jika kita perhatikan matriks imbalan di bawah ini, tidak ada strategi dominan dari masing-masing pemain.

Ed09-matematika-2

Saat strategi dominan tidak terjadi, keseimbangan masih dapat dicapai apabila masing-masing pemain bisa memilih dengan optimal berdasarkan harapan terhadap tindakan yang diambil oleh pemain lain. Pada situasi di atas, jika pemain A memilih “atas”, pilihan optimal bagi B adalah “kiri”. Sebaliknya jika B memilih “kiri”, pilihan optimal A adalah “atas”. Dengan demikian, “atas”-“kiri” (sel kuning) juga merupakan posisi keseimbangan, yang disebut sebagai keseimbangan Nash (Nash equilibrium). Jadi, keseimbangan Nash adalah sepasang strategi ketika pilihan yang diambil A adalah pilihan optimal terhadap kondisi pilihan yang diambil B, dan sebaliknya.

Masalahnya, jika asumsinya dibalik dari B memilih “kanan” terlebih dahulu, ternyata bisa timbul posisi keseimbangan Nash yang lainnya, yaitu “bawah”-“kanan” (sel hijau). Jadi, keseimbangan Nash tidak selalu hanya satu keadaan. Selain itu, ada juga situasi tanpa keseimbangan Nash seperti tergambar dalam matriks imbalan berikut ini.

Ed09-matematika-3

Jika A memilih “atas”, B akan memilih “kiri”. Namun, jika B memilih “kiri”, A akan memilih “bawah”. Selanjutnya, jika A memilih “bawah”, B akan memilih “kanan”, dan jika B memilih “kanan”, A akan memilih “atas”. Dengan demikian keseimbangan tidak dapat tercapai.

Dilema tahanan (Prisoner’s dilemma)

Masalah lain dalam keseimbangan Nash adalah jika posisi keseimbangan yang tercapai membuat kedua  belah  pihak mengambil  pilihan yang bukan paling optimal. Kondisi ini terkenal dengan sebutan dilema tahanan (prisoner’s dilemma). Kita bayangkan, ada 2 tahanan (tersangka) yang diselidiki secara terpisah tanpa saling bisa menebak pilihan tindakan satu sama lain. Masing-masing tahanan mempunyai pilihan untuk mengaku atau menyangkal, dengan implikasi seperti tergambar pada matriks di bawah ini.

Ed09-matematika-4

Jika A mengaku, dia bisa bebas dan B akan menanggung hukuman 6 bulan. Jika kedua tahanan sama-sama mengaku, keduanya akan ditahan selama 3 bulan. Jika keduanya menyangkal, mereka akan ditahan 1 bulan.

A akan memilih untuk mengaku. Alasannya, bila B menyangkal, dia akan bebas. Kalaupun B mengaku, dia masih akan lebih baik, yakni ditahan 3 bulan daripada 6 bulan. Dengan demikian, bukan saja fenomena keseimbangan Nash, melainkan keseimbangan strategi dominan dapat terjadi di sini, yaitu saat kedua tahanan akan memilih mengaku (tanpa mengetahui strategi tahanan lain). Pada akhirnya, kedua tahanan berada pada kondisi “A mengaku” dan “B mengaku” (-3, -3) seperti ditunjukkan sel kuning. Akan tetapi, keseimbangan ini ternyata bukan kondisi terbaik karena kedua tahanan bisa mendapatkan hasil lebih baik jika “A menyangkal” dan “B menyangkal” pula (-1, -1), ditunjukkan oleh sel hijau. Tentu saja ini hanya bisa terjadi jika keduanya dapat berkoordinasi.

Masih banyak variasi strategi dalam game theory beserta asumsi-asumsinya yang tidak sempat dijabarkan di sini. Aplikasi game theory sesungguhnya sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari. Apakah kalian pernah menghadapi situasi semacam dilema tawanan ataupun interaksi strategis lain? Mungkinkah ada cara pengambilan solusi yang belum terpikirkan oleh para perumus game theory sampai sekarang?

Bahan bacaan:

Penulis:
Yogi Rahmayanti, doktor ekonomi dari Universitas Osaka, Jepang, serta pegawai Kementerian Keuangan, Direktorat Jenderal Perbendaharaan, Jakarta. Kontak: rahmayantiyogi(at)yahoo(dot)com.