Pernahkah teman-teman mendengar judul tulisan ini? Formula tali sepatu adalah sebuah metode dalam matematika untuk menghitung luas sebuah bidang datar tertutup. Nama ini berasal dari cara perhitungan yang bila divisualisasikan mirip dengan cara kita memasang tali sepatu. Penasaran bagaimana cara kerja formula tali sepatu? Yuk, kita lihat contoh berikut ini.
Misalkan kita memiliki sebuah segitiga seperti gambar di atas dengan koordinat titik A (1,1), titik B(5,4), dan titik C(2,5). Secara sederhana, luas segitiga di atas dapat dihitung dengan cara mengurangi luas persegi ADEF dengan tiga buah segitiga: ADB, BFC dan CFA seperti gambar di bawah ini.
\Delta ABC = \Delta ADEF - \Delta ADB - \Delta BEC - \Delta CFA
= 16 - \frac{1}{2} [(4 \times 3) + (1 \times 3) + (1 \times 4)]
= 6,5
Setelah mengetahui dengan pasti bahwa luas segitiga ABC adalah 6,5 satuan, mari kita coba aplikasikan formula tali sepatu. Pertama-tama, kita ambil koordinat titik A dan tempatkan pada sebuah tabel, begitu juga dengan titik B dan titik C. Pastikan bahwa pengambilan titik dilakukan berlawanan dengan arah jarum jam. Lalu, tambahkan titik awal (titik A) di bagian akhir dari tabel seperti pada ilustrasi di bawah ini.
Selanjutnya, kita kalikan secara menyilang setiap elemen dari koordinat tersebut seperti gambar di bawah. Hasil dari penyilangan setiap elemen di dalam tabel akan kita jumlahkan dengan ketentuan bahwa pasangan dengan garis merah dikalikan dengan +1, sedangkan pasangan dengan garis hijau dikalikan dengan -1.
Hasil perkalian dan penjumlahan (l) di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
l = x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_A - x_A y_C
= (1\times 4) - (5\times 1) + (5\times 5) - (2\times 4) + (2\times 1) - (1\times 5)
= 13
Untuk mengakhiri perhitungan dengan menggunakan formula tali sepatu, kita harus membagi nilai l dengan 2, sehingga untuk contoh soal di atas, kita bisa simpulkan bahwa luas segitiganya adalah = 0.5 × 13 = 6,5.
Dari hasil perhitungan dengan menggunakan metode sederhana dan formula tali sepatu, kita memperoleh hasil yang sama. Pertanyaannya, mengapa formula tali sepatu ini bisa menghasilkan nilai yang tepat dan mengapa pada langkah terakhir harus dikalikan dengan 0,5 (atau dibagi dengan 2)? Hal ini berhubungan dengan perhitungan luas segitiga.
Untuk mempermudah permasalahan, mari kita menghitung luas suatu segitiga yang salah satu titik sudutnya berada di titik O (0,0). Salah satu cara menghitung luas segitiga adalah dengan menggunakan vektor, yaitu perkalian silang antara dua vektor. Perkalian silang antara vektor A (a,b) dengan vektor B (b,c) seperti pada gambar di bawah dapat dituliskan ke dalam bentuk berikut:
|\textbf{A} \times \textbf{B}| = \textrm{det} \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = ad - bc
Determinan matriks di atas tidak lain adalah rumus perkalian tali sepatu. Nilainya akan menghasilkan luasan yang membentuk jajaran genjang OAO’B. Dengan menghitung setengah dari luas jajaran genjang OAO’B, kita mendapatkan luas segitiga OAB (setengah dari perkalian tali sepatu).
Sekarang kembali ke permasalahan awal dengan titik-titik sudut segitiga berada di sembarang titik (perhatikan gambar di bawah). Luas segitiga ABC adalah:
\Delta_{ABC} = \Delta_{OBC} - \Delta_{OAB} - \Delta_{OAC}
Pertama kita menghitung segitiga OBC, luasnya bisa dihitung dengan menghitung setengah dari determinan vektor OB dan vektor OC. Demikian pula dengan segitiga OAB dan OAC.
\Delta_{ABC} = \frac{1}{2} \left( \textrm{det} \left[\begin{array}{cc} x_B & y_B \\ x_C & y_C \end{array}\right] - \textrm{det} \left[\begin{array}{cc} x_A & y_A \\ x_B & y_B \end{array}\right] - \textrm{det} \left[\begin{array}{cc} x_A & y_A \\ x_C & y_C \end{array}\right]\right)
\Delta_{ABC} = \frac{1}{2} \left(x_B y_C - x_C y_B - x_A y_B + x_B y_A - x_A y_C + x_C y_A \right)
Jika kita menyusun ulang suku-suku di atas, kita dapat menuliskan luas segitiga ke dalam perkalian tali sepatu
\Delta_{ABC} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc} x_B & y_B \\ x_C & y_C \\ x_A & y_A \\ x_B & y_B \end{array}\right]
Formula tali sepatu bisa juga digunakan untuk bentuk-bentuk yang lebih kompleks. Namun, perlu diperhatikan bahwa formula ini tidak berlaku untuk bentuk-bentuk yang saling berpotongan.
Kita bisa menggunakan formula tali sepatu untuk menghitung luas bidang datar seperti gambar di atas.
Bahan bacaan:
- Shoelace formula (https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula)
- Gauss’ magic shoelace area formula and its calculus companion (https://www.youtube.com/watch?v=0KjG8Pg6LGk)
Penulis:
Vicky Sintunata, mahasiswa doktor di Graduate School of Information Science, Tohoku University, Jepang.
Kontak: vicky_sintunata(at)yahoo.co.id
