Interpolasi kuadratik dilakukan bila plot datanya mendekati fungsi kuadrat. Berbeda dengan interpolasi linear yang hanya melibatkan 2 titik sampel x1 dan x2, interpolasi kuadratik melibatkan 3 titik.
Kurva y = f(x) didekati dengan parabola antara x1 dan x2 dengan persamaan:
f(x) = P2(x) = a + b(x – x1) + c(x – x1)(x – x2)
Harga fungsi pada x = x1 adalah P2(x1) = a sehingga a = f1. Sementara itu, harga fungsi pada x = x2 adalah P2(x2) = a + b (x2 – x1) sehingga f2 = a + bh. Selanjutnya, kita peroleh
bh = f2 – a
bh = f2 – f1
b = (f2 – f1)/h = Δf/h
Untuk x = x3, harga fungsinya dapat dievaluasi sebagai berikut:
P2(x3) = a + b (x3 – x1) + c(x3 – x1 ) (x3 – x2)
f 3 = a + b(2h) + c(2h)(h)
f 3 = a + 2bh + 2ch2
c = (f3 – a – 2bh) / (2h.h)
c = [f3 – f1 – 2(f2 – f1)] / (2h2)
c = (f3 – 2f2 + f1) / (2h2)
Secara umum, kita dapat menuliskan
a = fj, b = Δfj/h, dan
c = (fj+2 – 2fj+1 + fj) / (2h2)
c = Δ2fj / 2h2
Kemudian, kita bertanya, berapakah harga fungsi pada x = xj + θh
f(x) = a + b(x – xj) + c(x – xj)(x – xj+1)
f(x) = fj + (Δfj/h) θh + (Δ2fj/2h2) (θh)(θ – 1)h
f(x) = fj + θ Δfj + ½ θ(θ – 1)Δ2fj
dengan: θ = (x – x1)/(x2 – x1)
Δfj = fj+1 – fj
Δ2fj = fj+2 – 2fj+1 + fj
Dengan dasar teori yang telah dijelaskan, mari kita tinjau suatu contoh kasus perhitungan kerapatan (densitas) udara. Densitas udara ρ dalam kg/m3 dan kapasitas kalor spesifik cρ dalam kJ/kg οC sebagai fungsi suhu T (satuan kelvin) pada rentang 200–500 K diperlihatkan dalam tabel. Hitunglah densitas dan kapasitas kalor spesifik udara untuk suhu 410 K yang tidak tercantum pada tabel tersebut.
Untuk memecahkan permasalahan tersebut, kita plot dulu datanya dalam sistem koordinat kartesius supaya bisa dipastikan interpolasinya cocok dengan interpolasi kuadratik.
Dari gambar terlihat kurva lengkung yang cukup mengindikasikan data tersebut dapat diinterpolasi kuadratik. Kita bisa gunakan data 3 titik, dengan x = 410 berada di antara x1 = 400, x2 = 450, dan x3 = 500. Nilai-nilai fungsi untuk ketiga data tersebut masing-masing adalah f1= 0,8826, f2 = 0,7833, dan f3 = 0,7048.
Kita hitung variabel dasar yang dibutuhkan:
Δf1 = f2 – f1
Δf1 = 0,7833 – 0,8826
Δf1 = –0,0993
Δ2 f1 = f3 – 2f2 + f1
Δ2 f1 = 0,7048 – 2(0,7833) + 0,8826
Δ2 f1 = 0,7048 – 1,5666 + 0,8826
Δ2 f1 = 0,0208
Selanjutnya, gunakan rumus interpolasi kuadratik untuk menghitung densitas pada x = 410:
f(x) = f1 + θ Δf1 + (1/2) θ (θ – 1) Δ2f1
f(410) = 0,8826 + 0,2 (–0,0993) + (1/2)(0,2)(0,2 – 1)( 0,0208)
f(410) = 0,8826 – 0,1986 + (0,1)(–0,8)(0,0208)
f(410) = 0,8826 – 0,1986 – (0,08)(0,0208)
f(410) = 0,8826 – 0,1986 – (0,08)(0,0208)
f(410) = 0,8826 – 0,1986 – 0,001664
f(410) = 0,861076
Jadi, harga densitas udara pada suhu T = 410 K adalah 0,861076 kg/m3.
Dengan jalan yang sama, nilai kapasitas kalor spesifik udara pada suhu 410 K dapat diperoleh
f(410) = 1,0140 + 0,2 (0,067) + 0,5 (0,2)(–0,8)(0,0021) = 1,0152.
Jadi, kalor spesifik udara pada suhu T = 410 K adalah 1,0152 kJ/kg οC.
Bahan Bacaan:
- Burden , R. L., Numerical Analysis, Boston, 1981
- Hamming, R.W., Introduction to Applied Numerical Analysis, McGraw Hill, New York, 1987
Penulis:
M. Nawi Harahap, Widyaiswara Matematika, PPPPTK BBL Medan.
Kontak: mnawiharahap@yahoo.com
