Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Masalah Bilangan Irasional

Kebanyakan orang jarang berurusan dengan bilangan irasional karena untuk menulis bilangan tersebut secara akurat diperlukan serangkaian angka tak berulang dan tanpa batas. Namun, konstanta irasional seperti π dan √2 sering muncul dalam bidang sains dan teknik. Angka-angka ini telah mengganggu matematikawan sejak zaman Yunani kuno. Bahkan menurut legenda, Hippasus ditenggelamkan gara-gara menyatakan ada bilangan irasional. Untungnya, masalah tersebut sekarang telah terpecahkan meskipun hampir 80 tahun para matematikawan kesulitan menentukan seberapa akurat bilangan irasional dapat diperkirakan.

Banyak orang menuliskan bilangan irasional dengan membulatkannya menjadi pecahan atau desimal. Misalnya, π dibulatkan menjadi 3,14 dan dianggap setara dengan 157/50. Ada pula nilai yang berbeda, yakni 22/7, yang kerap digunakan di sekolah dasar dan sekolah menengah supaya lebih mudah digunakan untuk pemecahan soal-soal yang sesuai dengan kemampuan siswa. Hal ini menimbulkan pertanyaan, seberapa akurat dan sederhana bilangan ini dapat diperoleh? Bisakah kita memilih pecahan dalam bentuk yang kita inginkan?

Pada 1941, fisikawan Richard Duffin dan matematikawan Albert Schaeffer mengusulkan aturan sederhana untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Pertama, putuskan seberapa dekat perkiraan penyebut untuk pecahan yang merepresentasikan bilangan irasional. Ingat kembali, “pembilang” mengacu pada bagian atas pecahan, sedangkan “penyebut” pada bagian bawah, dan yang disebut sebagai pecahan di sini adalah bentuk paling sederhana. Jadi, 2/4 tidak dikatakan memiliki penyebut 4 karena pecahan tersebut masih dapat disederhanakan menjadi 1/2.

Kita dapat menuliskan pendekatan bilangan irasional dari bentuk pecahan-pecahan sederhana n/2 yang nilai sebenarnya berada di antara 1/10 dari pecahan tersebut (perkiraan kekeliruannya 1/10). Pecahan-pecahan seperti n/10 tampak lebih dekat pada garis bilangan bila dibandingkan dengan pecahan berpenyebut 2 sehingga kita bisa membatasi error dalam kasus ini hanya 1/100. Pecahan tersebut dapat mendekati bilangan irasional apapun dalam 1/100 dari mereka.

Biasanya, penyebut yang lebih besar berkaitan dengan kesalahan yang lebih kecil. Jika hal ini benar dan terdapat banyak penyebut yang digunakan untuk memperkirakan bilangan irasional dalam tingkat kesalahan yang sesuai, maka pendekatan ini dapat dibuat lebih baik dengan memperbesar penyebutnya. Aturan Duffin dan Schaeffer mengukur kapan hal ini dapat dilakukan berdasarkan ukuran kesalahan.

Jika kesalahan yang dipilih cukup kecil, bilangan irasional x yang dipilih secara acak hanya akan memiliki bilangan terbatas untuk perkiraan yang baik (mungkin nilainya akan jatuh di antara gap perkiraan dengan penyebut tertentu). Namun, jika kesalahannya cukup besar, akan ada banyak penyebut yang menghasilkan pendekatan pecahan yang baik. Dalam hal ini, jika kesalahan juga mengecil dengan membesarnya penyebut, kita dapat memilih perkiraan yang tepat seperti yang diharapkan.

Hasilnya, kita bisa memperkirakan hampir setiap bilangan dengan baik, atau hampir tidak ada. “Terdapat dikotomi yang mencolok,” kata Dimitris Koukoulopoulos, matematikawan dari Universitas Montreal. Selain itu, kita bisa memilih tingkat kesalahan sesuka kita, dan sebagian besar angka dapat diperkirakan dengan banyak cara. Ini berarti bahwa dengan memilih beberapa kesalahan sebagai nol, kita dapat membatasi perkiraan untuk jenis pecahan tertentu, misalnya hanya pecahan yang memiliki penyebut berpangkat 10.

Meskipun tampak logis, error yang kecil membuat perkiraan menjadi sulit. Duffin dan Schaeffer tidak dapat membuktikan hipotesis mereka. Pembuktiannya masih menjadi “masalah terbuka” dalam teori bilangan, kata Christoph Aistleitner, matematikawan dari Universitas Teknologi Graz, Austria yang telah mempelajari masalah tersebut. Hingga akhirnya di pertengahan tahun 2019 ini, Koukoulopoulos dan rekannya James Maynard mengumumkan solusi mereka yang tertuang dalam sebuah artikel yang dikirimkan ke server preprint arxiv.org.

Spekulasi Duffin-Schaeffer memiliki kesederhanaan dalam bidang matematika yang biasanya rumit dan sulit, kata Maynard, seorang profesor di Universitas Oxford. Maynard adalah ahli teori bilangan, khususnya bilangan prima (bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri). Profesor di Universitas New York menyarankan Maynard menyelesaikan spekulasi Duffin-Schaeffer setelah dia memberikan kuliah di sana. “Saya pikir dia memiliki intuisi, mungkin bermanfaat bagi seseorang untuk sedikit keluar dari bidangnya,” kata Maynard. Intuisi itu ternyata benar, meskipun tidak berbuah hasil selama beberapa tahun. Jauh setelah itu, Maynard mencoba kolaborasi dengan Koukoulopoulos dengan keyakinan bahwa koleganya memiliki keahlian yang relevan.

Maynard dan Koukoulopoulos tahu bahwa pekerjaan sebelumnya pada bidang tersebut telah mengurangi permasalahan menjadi satu masalah, yakni penyebut dengan faktor bilangan prima. Maynard menyarankan untuk menganggap masalah sebagai bayangan dalam angka. “Bayangkan pada garis bilangan, isi semua angka yang dekat dengan pecahan dengan penyebut 100.” Spekulasi Duffin-Schaeffer mengatakan bahwa jika kesalahannya cukup besar dan berlaku untuk setiap kemungkinan penyebut, maka hampir setiap angka akan diisi berkali-kali.

Untuk penyebut tertentu, hanya bagian dari garis bilangan yang akan diisi. Jika matematikawan dapat menunjukkan bahwa untuk setiap penyebut, diisi pada area yang cukup berbeda, maka hampir setiap angka dapat diisi. Jika mereka juga dapat membuktikan bahwa bagian-bagian itu tumpang tindih, mereka dapat menyimpulkan bahwa kondisi tersebut terjadi berulang kali. Salah satu cara untuk menangkap ide tentang area berbeda yang tumpang tindih ini adalah dengan membuktikan bahwa daerah yang diisi oleh penyebut yang berbeda tidak saling terikat (independen).

Namun, sebenarnya analisis di atas tidak akurat, terutama jika dua penyebut memiliki banyak faktor prima. Sebagai contoh, kemungkinan penyebut 10 dan 100 berbagi faktor 2 dan 5, dan angka-angka yang dapat didekati dengan pecahan dari bentuk n/10 menunjukkan tumpang tindih dengan angka-angka yang dapat didekati dengan pecahan n/100.

Maynard dan Koukoulopoulos memecahkan teka-teki ini dengan merangkai ulang masalah dalam bentuk grafik (kumpulan titik yang sebagiannya terhubung dengan garis). Titik-titik dalam grafik mewakili kemungkinan penyebut yang ingin digunakan untuk pecahan yang mendekati, dan dua titik dihubungkan oleh sebuah garis jika mereka memiliki jumlah faktor prima yang sama. Grafik memiliki banyak garis presisi dalam kasus yang penyebutnya diizinkan memiliki keterikatan yang tidak diinginkan.

Menggunakan grafik memungkinkan kedua matematikawan dapat memvisualisasikan masalah dengan cara baru. “Salah satu konsep yang dibutuhkan adalah mengabaikan semua bagian yang tidak penting dari masalah dan hanya fokus pada satu atau dua faktor yang membuatnya istimewa”, kata Maynard. Menggunakan grafik, katanya, tidak hanya memungkinkan kita untuk membuktikan hasil, tetapi juga dapat memberi tahu tentang apa yang terjadi dalam masalah secara struktural. Maynard dan Koukoulopoulos menyimpulkan bahwa grafik dengan banyak garis berhubungan dengan keadaan matematika tertentu yang terstruktur dan dapat dianalisis secara terpisah.

Dua solusi ini mengejutkan banyak orang di bidang tersebut. “Perkiraannya masalah ini tidak mudah diselesaikan”, kata Aistleitner. “Teknik menggunakan grafik adalah sesuatu yang mungkin di masa mendatang akan dianggap sama pentingnya, atau bahkan lebih penting daripada spekulasi Duffin-Schaeffer itu sendiri”, kata Jeffrey Vaaler, pensiunan profesor di Universitas Texas, Austin, yang membuktikan kasus khusus dari spekulasi tersebut pada tahun 1978.

Diperlukan waktu beberapa bulan oleh para pakar untuk memahami detail lengkapnya. “Bukti ini adalah bukti yang panjang dan rumit”, kata Aistleitner. “Tidak cukup dengan satu ide cemerlang. Ada banyak bagian yang harus dikontrol,” lanjutnya. Pada 44 halaman makalah matematika yang padat diperlukan waktu untuk memahami makalah tersebut, bahkan oleh pakar sekalipun. Namun, komunitas ini tampaknya optimis. Kata Vaaler, “Tidak diragukan lagi, ini adalah makalah yang indah”.

Catatan:

Artikel ini adalah saduran bebas dari https://www.scientificamerican.com/article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/

Bahan bacaan:

Penulis:
Edi Suprayoga, Peneliti di Pusat Penelitian Fisika LIPI.
Kontak:  suprayoga.edi(at)gmail.com

Mari sebarkan!
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •