Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Menyelesaikan permasalahan matematika dengan gambar

Amir orang Indonesia berteman dengan seorang Amerika bernama Michael. Suatu kali Amir mendapati badan Michael menggigil. “What happened to you?” tanya Amir. “I think I’ve got a fever, my body temperature is 104oF.” Amir tidak tahu seberapa panas suhu tubuh Michael. Maka, ia melakukan konversi suhu, 5/9 x (104 – 32) = 40oC. “Wow, that’s 40oC. You must seek a doctor!” seru Amir pada Michael.

Satuan-satuan dalam suhu tubuh merupakan contoh deskripsi simbolik. Di dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita mengalami kesulitan dalam mengestimasi dengan cepat deskripsi simbolik yang tidak kita kenal, seperti satuan-satuan pengukuran (inci, lbs, galon, dll.) dan rumus-rumus dalam matematika. Hal ini berkaitan dengan keterbatasan otak kita dalam mengolah deskripsi simbolik. Deskripsi lain seperti gambar jauh lebih mudah kita pahami. Itulah mengapa hampir seluruh rambu lalu lintas menggunakan deskripsi gambar.

Kali ini kita akan membahas beberapa solusi permasalahan matematika yang lebih mudah diperoleh dengan metode gambar daripada metode simbolik. Perlu diingat bahwa trik ini berlaku untuk beberapa permasalahan aljabar saja. Bila deskripsi gambar tidak memungkinkan, mau tidak mau kita harus menyelesaikannya dengan standar aljabar yang ada. Yuk kita mulai!

Jumlah deret bilangan ganjil

Mari kita buktikan bahwa jumlah deret bilangan ganjil

Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)

adalah n2. Permasalahan ini mungkin dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang pernah kita pelajari di sekolah,

Sn = n(1 +(2n – 1))/2 = n2.

Namun, rumus di atas tidak secara intuitif menjelaskan mengapa jumlah bilangan ganjil ke-n merupakan bilangan kuadrat n2. Untuk lebih jelasnya kita dapat menggunakan solusi gambar.

Dengan metode gambar tampak jelas bahwa penjumlahan bilangan ganjil adalah bilangan kuadrat.

Silakan teman-teman buktikan menggunakan metode gambar bahwa

Sn = 1 + 2 + 3 + … + n + … + 3 + 2 + 1 = n2

dan

Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2

Rata-rata geometrik dan rata-rata aritmetik

Bila ada dua bilangan positif a dan b, rata-rata aritmetik (RA) didefinisikan sebagai (a + b)/2 dan rata-rata geometrik  (RG) didefinisikan sebagai \sqrt{a b}. Contoh kita ambil a = 2 dan b = 1, kita mendapatkan RA = (2 + 1)/2 =  1,5 dan RG =  = 1,414. Bila kita coba segala kemungkinan nilai a dan b, akan berlaku secara umum bahwa RA \geq RG atau

\displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}.

Bagaimana kita dapat membuktikan pernyataan ini? Secara simbolik, kita mulai dengan asumsi bahwa a lebih besar dari b. Maka,

(a - b)^2 \geq 0 a^2 - 2 a b + b^2

Kemudian, kita tambahkan 4ab di kedua sisi ketaksamaan tersebut,

a^2 + 2 a b + b^2 \geq 4 a b (a + b)^2 \geq 4 a b \displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

Penyelesaian di atas sangat misterius karena dimulai dengan trik  (a - b)^2 \geq 0.

Dengan metode grafik, mungkin saja kita dapat menemukan pembuktian persamaan di atas dengan lebih mudah. Kita mulai dengan melihat segitiga berikut ini.

Panjang ruas x dapat diketahui dengan memutar segitiga yang gelap 90 derajat sehingga berimpit dengan segitiga yang lebih terang.

Karena hipotenusa segitiga gelap dan segitiga terang sejajar, kita dapat membandingkan kedua sisi siku-siku segitiga tersebut:

\displaystyle\frac{a}{x} = \displaystyle\frac{x}{b}.

sehingga didapat x = \sqrt{a b}. Sekarang kita gambar sebuah lingkaran dengan diameter a + b dan memasukkan segitiga di atas ke dalam lingkaran.

Dari gambar di atas tampak bahwa panjang sisi \sqrt{a b} tidak mungkin melebihi jari-jari lingkaran (a+b)/2 \geq \sqrt{a b}. Panjang  \sqrt{a b} maksimal adalah sama dengan jari-jari lingkaran bila a = b. RA dan RG dapat diaplikasikan dalam menentukan luasan optimal sebuah bidang bila kelilingnya tetap.

Bahan bacaan:

  • Sanhoy Mahajan, Street fighting mathematics, MIT Press (2010).

Penulis:
Hesky Hasdeo, peneliti di Institute of High Performance Computing, Singapura.
Kontak: heskyzone(at)gmail(dot)com.