Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

Matematika Pelangi

Kita biasanya melihat pelangi saat hujan di pagi atau sore hari. Pelangi adalah fenomena alam yang bisa kita lihat ketika ada keterkaitan antara sinar matahari, tetesan air hujan, dan pengamat. Di dalam tetesan air hujan, sinar matahari mengalami proses pembiasan (refraksi), pemantulan (refleksi), dan dispersi cahaya sehingga sinar matahari tersebut membentuk spektrum berwarna pelangi. Terjadinya pelangi dapat dikaitkan dengan ilmu matematika dan ilmu fisika. Mari kita bahas beberapa rumus matematika yang dapat diturunkan dari proses terjadinya pelangi.

Proses terjadinya pelangi dan pemantulan sinar di dalam butiran air. Pengamat melihat merah di atas dan ungu di bawah.

Warna pelangi berasal dari sinar matahari terbias melalui medium yang berbeda yaitu dari udara ke dalam air. Pada seberkas sinar matahari yang memasuki butiran air hujan, sebagian sinar dipantulkan dan sebagian lainnya menembus rintik hujan.

Gambar atas: Pembiasan sinar dari udara ke air. Gambar bawah: Pembiasan dari udara ke air, kembali ke udara.

Perhatikan diagram pembiasan sinar dari udara ke air dan dari air kembali ke udara. Di titik A, kita bisa tinjau hukum Snellius,  \rm{sin} \alpha = \it{k} \rm{sin} \beta , dengan  \alpha adalah sudut datang sinar,  \it{k} adalah indeks bias air, dan  \beta adalah sudut pantul sinar, sehingga  \beta = \rm{arcsin} \left [ \frac{\rm{sin} \alpha}{\it{k}} \right ] . Di titik B, sebagian sinar meninggalkan rintik hujan dan sebagian lagi dipantulkan mengikuti hukum pemantulan, sinar datang sama dengan sinar pantul. Ketika sinar di titik C, sebagian dipantulkan lagi, dan sebagian dibiaskan dari air ke udara, sehingga sampai ke pengamat. Dari perpanjangan sinar datang di titik A sampai perpanjangan sinar pantul di sinar yang sampai ke pengamat dari titik C, kita peroleh sudut deviasi  \it{D} \left ( \alpha \right ) .  Kita bisa hitung:  \it{D} \left ( \alpha \right ) = \left ( \alpha - \beta \right ) + \left ( \rm{180}^{\circ} - \rm{2} \beta \right ) + \left ( \alpha - \beta \right ) = \rm{180^{\circ} + 2 \alpha - 4 \beta } . Dengan informasi  \it{D} \left ( \alpha \right ) , sesuai gambar, kita bisa memperoleh sudut pelangi  \it{S_{p}} = \rm{180} - \it{D} \left ( \alpha \right ) .

Dari semua rumus di atas, kita lihat bahwa untuk mendapatkan sudut pelangi setidaknya kita harus tahu nilai  \alpha dan  \it{k} . Nilai  \it{k}  bisa diperoleh dari indeks bias air untuk warna tertentu. Masalahnya adalah nilai  \alpha , bagaimana kita bisa tahu sudut datang sinar? Kita bisa ambil pendekatan dari hukum Snellius sehingga  \alpha cukup diperoleh dari informasi  \it{k} , dengan asumsi bahwa  \alpha adalah sudut sinar datang yang menyebabkan deviasi maksimum. Oleh karena itu, turunan  \it{D} \left ( \alpha \right )  terhadap  \alpha harus sama dengan nol.

 \frac{\partial \it{D} \left ( \alpha \right )}{\partial \alpha} = \rm{2} - \rm{4} \frac{\partial \beta}{\partial \alpha} = \rm{0}

Ada suku turunan  \beta terhadap  \alpha pada persamaan di atas. Suku ini dapat dihitung dari hukum Snellius,  \rm{sin} \alpha = \it{k} \rm{sin} \beta , sehingga

 \frac{\partial \beta}{\partial \alpha} = \frac{\rm{cos} \alpha}{\it{k} \rm{cos} \beta}

Jika kita substitusikan turunan  \beta terhadap  \alpha pada rumus turunan  \it{D} \left ( \alpha \right ) terhadap  \alpha , kita dapatkan:

 \frac{\partial \it{D} \left ( \alpha \right )}{\partial \alpha} = \rm{2 - 4 \frac{cos \alpha}{\it{k} cos \beta}} = \rm{0}

 \it{k}^{2} \rm{cos^{2}} \left ( \beta \right ) = \rm{4cos^{2}} \left ( \alpha \right )

 \it{k}^{2} \left (\rm{1 - sin^{2}} \left ( \beta \right ) \right ) = \rm{4} \left ( \rm{1 - sin^{2}} \left ( \alpha \right ) \right )

Substitusikan  \rm{sin^{2} \alpha} = \it{k} \rm{sin^{2} \beta} :

 \rm{4 \left ( 1 - sin^{2} \alpha \right ) } = \it{k}^{2} - \rm{sin^{2} \alpha}

 \rm{sin^{2} \alpha} = \frac{1}{3} \left ( 4 - \it{k}^{2} \right )

Jadi,

 \alpha = \rm{arcsin} \sqrt{ \frac{1}{3} \left ( 4 - \it{k}^{2} \right ) }

Sebagai contoh, untuk mendapatkan sudut pelangi warna merah, kita lakukan perhitungan berikut ini.

  • Dengan rumus:  \alpha = \rm{arcsin} \sqrt{ \frac{1}{3} \left ( 4 - \it{k}^{2} \right ) } dan indeks bias  \it{k} = \rm{1,33}  untuk warna merah, didapat nilai  \alpha = 59,470^{\circ} .
  • Dengan rumus  \beta = \rm{arcsin} \left [ \frac{ \left ( \rm{sin} \alpha \right ) }{ \it{k}} \right ] , didapatkan  \beta = 40,292^{\circ} .
  • Karena  \alpha dan  \beta diketahui, dengan rumus  \it{D} \left ( \alpha \right ) = \rm{180^{\circ} + 2 \alpha - 4 \beta} , didapat  \it{D} \left ( \alpha \right ) = \rm{137,771^{\circ}} .
  • Sudut pelangi warna merah adalah  \it{S_{p}} = \rm{180^{\circ} - 137,772^{\circ} = 42,228^{\circ}}

Dari pemaparan matematis ini, kita simpulkan bahwa pelangi yang kita lihat dari tempat kita berdiri dengan pelangi yang orang lain lihat dari tempat yang berbeda merupakan pelangi yang berbeda. Butir-butir air hujan yang membentuk sudut tersebut akan membentuk busur lingkaran. Bila kita melihat pelangi tersebut dari atas bukit yang cukup tinggi, kita mungkin bisa melihat pelangi yang berbentuk lingkaran penuh. Kita dan pelangi seperti kerucut melintang ke samping, mata kita adalah titik puncak kerucut, sedangkan pelangi yang kita lihat adalah lingkaran tepi alas kerucut tersebut. Namun, bila kita melihat pelangi tersebut dari permukaan tanah (yang rendah), kita hanya akan melihat pelangi yang berbentuk setengah lingkaran.

Dua lapis pelangi dilihat dari atas pesawat. Sumber gambar: slate.com.

Pelangi kedua seperti pada gambar adalah hasil dari cahaya matahari yang direfleksikan 2 kali di antara tetesan air hujan. Sudut pelangi kedua dari berbagai warna berada pada kisaran 51o, sehingga pelangi kedua terlihat lebih tinggi di langit. Pemantulan yang terjadi 2 kali membuat warna dalam pelangi kedua menjadi terbalik, yaitu ungu di bawah dan merah di atas. Rene Descartes (ilmuwan Perancis yang hidup pada tahun 1596-1650, yang terkenal dengan sistem koordinat kartesius) adalah orang pertama yang menerangkan mengenai bentuk pelangi seperti itu.

Bahan bacaan:

Penulis: 

Eny Susiana, Guru Matematika SMPN 1 Jakenan, Kab Pati, Jawa Tengah.
Kontak: enysusiana(at)gmail(dot)com.