Rumus Euler untuk Polihedron

Tahukah teman-teman bahwa setiap bangun ruang (polihedron) yang tertutup tunduk pada suatu persamaan umum yang menghubungkan jumlah titik sudut, jumlah rusuk, dan jumlah sisinya? Persamaan itu dikenal dengan persamaan Euler untuk bangun polihedron,

V – E + F = 2,

dengan V adalah banyaknya titik sudut (vertex), E adalah banyaknya rusuk (edge), dan F adalah banyaknya permukaan (face) atau sisi. Supaya lebih jelas mengenai titik sudut, rusuk, dan permukaan, kita dapat lihat contoh kubus pada gambar di bawah.

Maksud yang ingin disampaikan oleh rumus Euler ini adalah banyaknya titik sudut dikurangi banyaknya rusuk kemudian ditambahkan dengan banyaknya permukaan akan selalu menghasilkan nilai dua. Walau rumus Euler terlihat sangat sederhana, rumus ini merangkum sifat-sifat bangun ruang. Berdasarkan nama rumus tersebut, tentu kita bisa menebak siapa pencetusnya, yaitu matematikawan dari Swiss, Leonhard Euler (1707-1783).

Mari kita coba terapkan rumus Euler pada contoh kubus. Kita bisa lihat dengan mudah bahwa kubus memiliki 8 titik sudut (V = 8), 12 rusuk (E = 12), dan 6 permukaan (F = 6). Sekarang coba kita masukkan ke dalam rumus Euler dan kita peroleh

V – E + F = 6 – 12 + 8 = 2,

yang sesuai dengan rumus Euler.

Bagaimana jika kita tidak yakin dengan rumus Euler ini? Bagaimana kalau ditambahkan rusuk lagi pada kubus tersebut? Apakah tetap menghasilkan bilangan dua?

Gambar di atas merupakan kubus yang telah diberikan rusuk tambahan. Jika diperhatikan baik-baik, bangun ini memiliki 8 titik sudut (V = 8), 13 rusuk (E = 13), dan 7 permukaan (F = 7). Kemudian, kita masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus Euler:

V – E + F = 8 – 13 + 7 = 2.

Voila! Ternyata hasilnya tetap 2. Apapun yang kita lakukan, hasilnya selalu berujung pada 2! Menarik, bukan? Ayo kita coba lihat contoh lebih banyak lagi!

Seperti yang sudah kita duga, hasilnya selalu 2. Namun, ada juga bangun ruang yang tidak memenuhi rumus Euler, yaitu bangun ruang yang memiliki lubang di dalamnya yang ditunjukkan oleh di bawah ini.

Bangun ruang ini merupakan non-simple polyhedron, sedangkan yang tidak memiliki lubang disebut simple polyhedron. Hal ini bersesuaian dengan pernyataan yang telah disebutkan di awal tulisan ini, rumus Euler berlaku untuk polihedron yang bersifat tertutup (simple polyhedron).

Selain itu, Archimedes berpendapat bahwa sebuah bangun ruang dapat dibangun oleh dua bangun ruang lainnya. Gambar di bawah adalah contoh bangun ruang baru yang terbentuk setelah suatu heksahedron diiris oleh suatu tetrahedron.

Kita juga dapat membuat bangun ruang yang mirip dengan bola sepak, yang dibangun oleh irisan pentahedron dan heksahedron seperti gambar ini.

Dengan menggunakan rumus Euler, kita akan mengetahui berapa banyak segilima dan segienam yang dibutuhkan untuk membangun bidang ruang semacam bola sepak.

Mari kita misalkan jumlah segilima yang dibutuhkan untuk membuat bola sepak adalah dan jumlah segienam adalah . Banyaknya permukaan adalah F = x + y. Banyaknya titik sudut adalah V = (5x + 6y)/3. Dalam rumus V ini terdapat pembilang 3 karena setiap satu titik sudut merupakan pertemuan antara 3 bidang. Sementara itu, banyaknya rusuk adalah E = (5x + 6y)/2 karena setiap rusuk mempertemukan 2 bidang. Kemudian, kita substitusikan ke dalam rumus Euler, yaitu

V – E + F = 2

(5x + 6y)/3 – (5x + 6y)/2 + (x + y) = 2

Jika kita selesaikan persamaan tersebut, kita akan temukan y menghilang dari persamaan, dan kita dapatkan x = 12. Apa artinya? Ini berarti, untuk membuat ruang tertutup yang terdiri dari sejumlah segilima dan sejumlah segienam, kita akan membutuhkan segilima sebanyak 12 buah (harus sejumlah itu) dan segienam dengan jumlah yang sembarang (bebas berapapun jumlahnya). Wow! Sebagai contoh, gambar di bawah menujukkan bangun ruang mirip bola dengan 12 buah segilima dan 0 buah (tanpa) segienam.

Pada contoh berikutnya, kita dapat juga membuat bentuk mirip bola dengan menggunakan 12 buah segilima dan 2 buah segienam.

Bahkan, kita dapat membuat bentuk lain yang lebih besar, lagi-lagi dengan 12 buah segilima dan hanya mengubah jumlah segienam saja.

Seru sekali, bukan? Mari terus belajar matematika karena banyak hal menarik yang bisa kita peroleh!

Bahan bacaan:

Penulis:
Reyna Marsya Quita, mahasiswa master di Jurusan Matematika, Universitas Brawijaya, Malang.
Kontak: reynaquita2905(at)gmail.com

Rumus Euler untuk Polihedron