Berbagi pengetahuan, dari mana saja, dari siapa saja, untuk semua

The Golden Ratio

Golden ratio, yang secara harfiah diterjemahkan sebagai “rasio emas” (emas di sini maksudnya seperti emas dalam “kesempatan emas”), merupakan sebuah angka yang sangat spesial dalam matematika. Golden ratio adalah bilangan irasional yang nilainya mendekati 1,618. Golden ratio biasanya disimbolkan dengan huruf Yunani φ. Angka ini sering muncul dalam konsep geometri, seni, arsitektur, hingga struktur makhluk hidup.

Dua buah besaran a dan b (dengan kondisi a > b) dikatakan memiliki golden ratio jika perbandingan antara dua besaran tersebut sama seperti perbandingan total keduanya dengan nilai maksimum di antara keduanya (yaitu a dalam kasus ini). Sebagai contoh sederhana, anggaplah kita punya sebuah garis dan memotongnya jadi dua bagian yang tidak sama. Golden ratio akan diperoleh jika bagian yang panjang dibagi dengan bagian yang pendek sama dengan panjang garis mula-mula dibagi dengan bagian yang panjang.

ed28-matematika-1

Golden ratio merupakan bilangan irasional dengan nilai 1,61803398874989484820… yang digitnya terus bertambah tanpa pola tertentu. Namun, persamaan a/b = (a+b)/a seperti pada contoh pembagian garis di atas haruslah selalu terpenuhi.

Keindahan Golden Ratio

Perhatikan gambar berikut ini.

ed28-matematika-2

Persegi panjang tersebut dibuat dengan menggunakan golden ratio dalam perbandingan panjang dan lebarnya. Ukurannya tampak seperti bingkai untuk lukisan. Banyak seniman dan arsitek meyakini bahwa golden ratio akan memberikan bentuk yang indah jika karya seni atau arsitek mengandung perbandingan yang dinyatakan dalam angka tersebut. Gedung Parthenon dari masa Yunani klasik dipercayai mengandung golden ratio pada perbandingan sisi-sisi bangunannya. Demikian pula Masjid Uqba (Kairouan) di Tunisia yang dibangun pada 670 M. Bahkan, tumbuhan seperti Aeonium tabuliforme memiliki golden ratio dalam strukturnya, dan masih banyak lagi bentuk-bentuk seni maupun benda alam yang memiliki golden ratio.

Gedung Parthenon di Yunani.

Gedung Parthenon di Yunani.

Masjid Uqba (Kairouan) di Tunisia.

Masjid Uqba (Kairouan) di Tunisia.

Aeonium tabuliforme.

Aeonium tabuliforme.

Cara Menghitung Golden Ratio

Nilai golden ratio bisa kita hitung sendiri dengan cukup mudah. Mula-mula kita bisa memilih sembarang bilangan asli, kemudian lakukan langkah-langkah berikut:

  1. Bagi angka 1 dengan angka yang kita punya.
  2. Tambahkan angka 1 terhadap hasil pembagian tersebut.
  3. Ulangi langkah 1 dengan angka baru dari langkah 2.

Proses ini dilakukan terus-menerus sehingga nilai golden ratio bisa diperoleh hingga sejumlah digit yang dibutuhkan. Jika kita memiliki kalkulator (scientific calculator), kita bisa menghitung golden ratio dengan menekan “1/x”, “+”, “1”, “=” secara terus-menerus. Contohnya jika kita mulai dengan x = 2, beberapa langkahnya ditunjukkan pada tabel berikut ini.

x

1/x

Tambah 1

2

1,5

1,666…

1,6

1,625

1,6154…

1/2=0,5

1/1,5 = 0,666…

1/1,666… = 0,6

1/1,6 = 0,625

1/1,625 = 0,6154…

0,5+1=1,5

0,666… + 1 = 1,666…

0,6 + 1 = 1,6

0,625 + 1 = 1,625

0,6154… + 1 = 1,6154…

Kita bisa lihat dari langkah-langkah tersebut hasil perhitungannya akan semakin dekat dengan nilai golden ratio yang sesungguhnya. Tentu saja ada bermacam algoritma perhitungan yang lebih baik sehingga ribuan digit desimal dari golden ratio bisa diperoleh dengan sangat cepat.

Cara lain yang praktis untuk menghitung golden ratio adalah menggunakan gambar persegi panjang yang memiliki perbandingan dalam golden ratio. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  • ŸGambar bujursangkar yang panjang sisinya 1 (dalam satuan apapun).
  • ŸTempatkan sebuah titik tepat di tengah salah satu sisinya.
  • ŸGambar garis dari titik tersebut ke sebuah titik sudut (panjang garisnya dengan demikian \sqrt{5}/2).
  • Putar garis tersebut sehinga berimpit dengan salah satu sisi lainnya dari bujursangkar yang kita gambar mula-mula.
  • Bujursangkar kemudian dapat diperpanjang menjadi sebuah persegi panjang yang memiliki golden ratio.

ed28-matematika-6

Dari gambar persegi panjang ini, kita bisa simpulkan bahwa nilai golden ratio dapat didekati oleh

\phi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Akar 5 kira-kira nilainya 2,236068 sehingga nilai golden ratio kira-kira (1+2,236068)/2 = 3,236068/2 = 1,618034.

Salah satu sifat unik golden ratio adalah bentuknya yang dapat didefinisikan dalam dirinya sendiri:

 \phi = 1 + 1 / \phi

atau kalau dinyatakan dalam angka: 1,61803… = 1 + 1/1,61803… Dengan sifat ini, kita bisa memperoleh pecahan yang berlanjut secara tak hingga:

\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \ldots}}}

Dari sinilah sifat bilangan irasional muncul untuk golden ratio. Bisa dikatakan golden ratio ini merupakan bilangan irasional yang paling irasional karena bilangan ini tidak bisa didekati oleh perbandingan bilangan rasional (tidak seperti π misalnya yang bisa didekati oleh angka 22/7).

Hubungan Golden Ratio dengan Deret Fibonacci

Ada hubungan yang menarik antara golden ratio dengan deret Fibonacci. Kita tahu bahwa deret Fibonacci diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan terdekat untuk memperoleh barisan bilangan berikutnya, seperti pada contoh berikut ini:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Nah, hal yang menarik adalah, jika kita ambil dua angka berturutan dalam deret Fibonacci, perbandingan kedua angka tersebut jika dilakukan secara berurutan untuk angka-angka berikutnya akan sangat dekat dengan golden ratio. Ilustrasinya seperti pada tabel berikut:

A

B

 

B/A

2

3

1,5

3

5

1,666666666…

5

8

1,6

8

13

1,625

144

233

1,618055556…

233

377

1,618025751...

Perhatikan nilai akhir dari perbandingan dua angka dalam deret Fibonacci tersebut lama-lama mendekati nilai golden ratio. Kita bahkan tidak perlu memulai perhitungan dengan angka 2 dan 3. Bisa saja kita memilih angka awal 192 dan 16 untuk membentuk deret Fibonacci (sehingga diperoleh barisan bilangan 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, …). Hasilnya seperti pada tabel berikut ini:

A

B

 

B / A

192

16

0.08333333…

16

208

13

208

224

1.07692308…

224

432

1.92857143…

7408

11984

1.61771058…

11984

19392

1.61815754…

 

Wow! Seru sekali, bukan? Sebenarnya masih banyak hal unik yang dapat ditemukan dari golden ratio. Silakan bisa kita coba eksplorasi sendiri.

Bahan bacaan:

Penulis:
Ahmad Ridwan T. Nugraha, peneliti fisika, alumnus ITB dan Tohoku University.
Kontak: art.nugraha(at)gmail(dot)com.